Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thỏa mãn :

$$3f(n)-2f(f(n))=n,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Lời giải :

Ta có thể viết phương trình hàm đã cho dưới dạng :

$$2\left[f(f(n))-f(n)\right]=f(n)-n,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Đặt $g(n)=f(n)-n,\forall n\in \mathbb{Z}$ ta được :

$$2g(f(n))=g(n),\forall n\in \mathbb{Z}$$

Điều này dẫn đến :

$$g(n)=2g(f(n))=2^{2}g(f(f(n)))=2^3.g(f(f(f(n))))=...$$

Tức là $2^k\mid g(n),\forall k\in \mathbb{N}\Rightarrow g(n)=0,\forall n\in \mathbb{Z}$

Kéo theo :

$$f(n)=n,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n,\forall n\in \mathbb{Z}}$