Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An)

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1>0\\ u_{n+1}{u}_n-3=\sqrt{3u_n^2+8u_n+9}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Dễ thấy $(u_n)$ là dãy số dương.

Từ đó ta có :

$$u_{n+1}=\frac{3}{u_n}+\sqrt{\frac{9}{u_n^2}+\frac{8}{u_n}+3}>\sqrt{3}$$

Kéo theo

$u_{n+1}$$=\frac{3}{u_n}+\sqrt{\frac{9}{u_n^2}+\frac{8}{u_n}+3}$$<\frac{3}{\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{9}{3}+\frac{8}{\sqrt{3}}+3}$$=\alpha$

Suy ra $\sqrt{3}<u_n<\alpha$, tức là dãy $(u_n)$ bị chặn.

Tiếp theo ta xét hai dãy số $a_n=u_{2n-1},b_n=u_{2n},\forall n\ge 1$

Xét hàm số $f(x)=\frac{3}{x}+\sqrt{\frac{9}{x^2}+\frac{8}{x}+3},x>0$, dễ thấy hàm này nghịch biến trên $\left(0,+\infty \right)$

Thì ta có $u_{n+1}=f(u_n),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Nếu $u_1<u_3$ thì

$$f(u_1)>f(u_3)\Rightarrow u_2>u_4\Rightarrow f(u_2)<f(u_4)\Rightarrow u_3<u_5\Rightarrow ...\Rightarrow \{\begin{array}{c}{u}_{2n-1}<u_{2n+1}\\ u_{2n}>u_{2n+2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}_n<a_{n+1}\\ b_n>b_{n+1}\end{array}$$

Như vậy $(a_n)$ tăng và $(b_n)$ giảm. Hơn nữa cả hai dãy $(a_n),(b_n)$ đều bị chặn nên chúng hội tụ.

Trường hợp $u_1\ge u_3$ tương tự.

Gỉa sử $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=A,\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n=B$, chuyển qua giới hạn ta có :

$$\{\begin{array}{c}A=\frac{3}{B}+\sqrt{\frac{9}{B^2}+\frac{8}{B}+3}\\ B=\frac{3}{A}+\sqrt{\frac{9}{A^2}+\frac{8}{A}+3}\end{array}$$

Hệ tương đương $\{\begin{array}{c}A=f(B)\\ B=f(A)\end{array}$, chú ý $f$ nghịch biến nên ta được $A=B$.

Dẫn đến phương trình :

$A^2-3$$=\sqrt{3A^2+8A+9}$$\iff A^4-6A^2+9$$=3A^2+8A+9$$\iff A^4-9A^2-8A$$=0$$\iff A(A+1)(A^2-A-8)$$=0$$\iff A\in \left\{0,-1,\frac{1\pm \sqrt{33}}{2}\right\}$

Do dãy $(u_n)$ dương nên $A=\frac{1+\sqrt{33}}{2}$.

Do vậy ta được $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{1+\sqrt{33}}{2}$