System Of Equations

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014)

Giải hệ phương trình

${5 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} = 3 (x + y) 2 x + y + 1 + 2 3 7 x + 12 y + 8 = 2 x y + y + 5$

Lời giải :

Ta có :

$5 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (2 x + y)^{2} + (x - y)^{2} \geq (2 x + y)^{2} = ∣2 x + y ∣ \geq 2 x + y$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y$ và $2 x + y \geq 0$

Tương tự $2 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} \geq 2 y + x$ và đẳng thức xảy ra khi $y = x$ và $2 y + x \geq 0$

Do đó ta có :

$5 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} \geq 3 (x + y)$

Do phương trình đầu nên đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi $x = y \geq 0$ .

Thay vào phương trình sau :

$3 x + 1 + 2 3 19 x + 8 = 2 x^{2} + x + 5$

Nhận xét $x = 0$ là một nghiệm của phương trình này, ta xét $x > 0$ .

Sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp :

$(3 x + 1 - 2) + 2 (3 19 x + 8 - 3) = 2 x^{2} + x - 3 \Leftrightarrow \frac{3 x - 3}{3 x + 1 + 2} + 2. \frac{19 x - 19}{3 ( 19 x + 8 ) ^{2} + 3 3 19 x + 8 + 9} = (x - 1) (2 x + 3) \Leftrightarrow (x - 1) [\frac{3}{3 x + 1} + \frac{38}{3 ( 19 x + 8 ) ^{2} + 3 3 19 x + 8 + 9} - 2 x - 3] = 0$

Vì $x > 0$ nên $2 x + 3 > 3$ và :

$\frac{3}{3 x + 1} + \frac{38}{3 ( 19 x + 8 ) ^{2} + 3 3 19 x + 8 + 9} < \frac{3}{3.0 + 1} + \frac{38}{3 ( 19.0 + 8 ) ^{2} + 3 3 19.0 + 8 + 9} = 3$

Kéo theo

$\frac{3}{3 x + 1} + \frac{38}{3 ( 19 x + 8 ) ^{2} + 3 3 19 x + 8 + 9} - 2 x - 3 < 0$

Từ đó phải có $x = 1$ .

Kết luận : Hệ phương trình có hai nghiệm $(x, y) = (0, 0), (1, 1)$

System Of Equations

Đề bài

Mô tả