Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi TpHCM) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n^2},\;\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.\] Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\left ( u_n\sqrt{n} \right )$ Lời giải : Dễ thấy $(u_n)$ là dãy dương nên $u_n$ bị chặn dưới bởi $0$. Hơn nữa dễ dàng thấy rằng $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n^2}< u_n$ nên $(u_n)$ là dãy giảm. Do đó dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn $L$. Chuyển qua giới hạn ta được : \[L=\dfrac{L}{1+L^2}\Rightarrow L=0\] Vậy nên $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_n=0$ Từ đề bài ta có : \[\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+u_n\] Xét : \[\dfrac{1}{u_{n+1}^2}-\dfrac{1}{u_n^2}=\left ( \dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n} \right )\left ( \dfrac{1}{u_{n+1}}+\dfrac{1}{u_n} \right )=u_n\left ( \dfrac{1}{u_{n+1}}+\dfrac{1}{u_n} \right )=\dfrac{u_n}{u_{n+1}}+1=u_n\left ( \dfrac{1}{u_n}+u_n \right )+1=2+u_n^2\] Do đó ta có : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\left ( \dfrac{1}{u_{n+1}^2}-\dfrac{1}{u_n^2} \right )=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(2+u_n^2)=2\] Áp dụng định lí trung bình $Cesaro$ ta có : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\dfrac{u_n^{-2}}{n}=2\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\left ( u_n\sqrt{n} \right )=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\dfrac{u_n}{n^{-1/2}}=2^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi TpHCM)

Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn :

${u_{1} = 1 u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}^{2}}, \forall n \in N^{*}$

Tính $n \to + \infty l im (u_{n} n)$

Lời giải :

Dễ thấy $(u_{n})$ là dãy dương nên $u_{n}$ bị chặn dưới bởi $0$ . Hơn nữa dễ dàng thấy rằng $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}^{2}} < u_{n}$ nên $(u_{n})$ là dãy giảm. Do đó dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn $L$.

Chuyển qua giới hạn ta được :

$L = \frac{L}{1 + L ^{2}} \Rightarrow L = 0$

Vậy nên $n \to + \infty l im u_{n} = 0$

Từ đề bài ta có :

$\frac{1}{u _{n + 1}} = \frac{1}{u _{n}} + u_{n}$

Xét :

$\frac{1}{u _{n + 1}^{2}} - \frac{1}{u _{n}^{2}} = (\frac{1}{u _{n + 1}} - \frac{1}{u _{n}}) (\frac{1}{u _{n + 1}} + \frac{1}{u _{n}}) = u_{n} (\frac{1}{u _{n + 1}} + \frac{1}{u _{n}}) = \frac{u _{n}}{u _{n + 1}} + 1 = u_{n} (\frac{1}{u _{n}} + u_{n}) + 1 = 2 + u_{n}^{2}$

Do đó ta có :

$n \to + \infty l im (\frac{1}{u _{n + 1}^{2}} - \frac{1}{u _{n}^{2}}) = n \to + \infty l im (2 + u_{n}^{2}) = 2$

Áp dụng định lí trung bình $C es a r o$ ta có :

$n \to + \infty l im \frac{u _{n}^{- 2}}{n} = 2 \Rightarrow n \to + \infty l im (u_{n} n) = n \to + \infty l im \frac{u _{n}}{n ^{- 1/2}} = 2^{- 1/2} = \frac{1}{2}$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả