Inequality

Bài toán (THTT số 424)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh :

$$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\frac{c^3+5}{c^3(a+b)}\ge 9$$

Lời giải :

Ta đổi biến $\left(a,b,c\right)\to \left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)$ với $x,y,z>0$ và $xyz=1$.

BĐT cần chứng minh trở thành :

$\frac{1+5x^3}{\frac{y+z}{yz}}+\frac{1+5y^3}{\frac{z+x}{zx}}+\frac{1+5z^3}{\frac{x+y}{xy}}$$\ge 9$$\iff \frac{yz+5x^2}{y+z}+\frac{zx+5y^2}{z+x}+\frac{xy+5z^2}{x+y}$$\ge 9$

Thật vậy, ta có :

$\frac{yz+5x^2}{y+z}+\frac{zx+5y^2}{z+x}+\frac{xy+5z^2}{x+y}$$=\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{yz+zx}+\frac{1}{zx+xy}\right)+\frac{5x^2}{y+z}+\frac{5y^2}{z+x}+\frac{5z^2}{x+y}$$\ge 9$

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn là :

$$\frac{9}{2(xy+yz+zx)}+\frac{5(x+y+z{)}^2}{2(x+y+z)}\ge 9$$

Và ta chỉ cần chỉ ra :

$$\frac{27}{2(x+y+z{)}^2}+\frac{5(x+y+z)}{2}\ge 9$$

Điều này hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ :

$\frac{27}{2(x+y+z{)}^2}+\frac{5(x+y+z)}{2}$$=\frac{27}{2(x+y+z{)}^2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{3(x+y+z)}{2}$$\ge 3\sqrt[3]{\frac{27}{8}}+\frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}$$=9$