Sequence – Limit

Bài toán : Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ u_{n+1}=u_n^3+3u_n^2-3,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tìm công thức tổng quát số hạng của dãy.

Lời giải :

Đặt $u_n=v_n-1$, thay vào công thức đề bài :

$$v_{n+1}-1=(v_n-1{)}^3+3(v_n-1{)}^2-3\iff v_{n+1}=v_n^3-3v_n$$

Đặt $v_n=2x_n$ ta lại được :

$$x_{n+1}=4x_n^3-3x_n$$

Vì $u_1=2$ nên $x_1=3/2$.

Xét số thực $\alpha$ mà :

$x_1$$=\frac{1}{2}\left(\alpha +\frac{1}{\alpha }\right)\left(\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)$

Ta có :

$x_2$$=4.\frac{1}{8}{\left(\alpha +\frac{1}{\alpha }\right)}^3-\frac{3}{2}\left(\alpha +\frac{1}{\alpha }\right)$$=\frac{1}{2}\left({\alpha }^3+\frac{1}{{\alpha }^3}\right)$

Bằng quy nạp ta được :

$$x_n=\frac{1}{2}\left({\alpha }^{3^{n-1}}+\frac{1}{{\alpha }^{3^{n-1}}}\right)$$

Do vậy ta được :

$u_n$$=2\left[{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^{n-1}}+{\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^{n-1}}\right]-1$