Bài toán (THTT số 413) Xét dãy số $(u_n)$ được xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} u_1=a\\ u_{n+1}=\dfrac{(\sqrt{2}+1)u_n-1}{\sqrt{2}+1+u_n},\;\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.\] a) Tìm điều kiện của $a$ để mọi số hạng của dãy đều xác định. b) Tìm $a$ để $u_{2011}=2011$. Lời giải : a) Ta có công thức : \[cot(x+y)=\dfrac{cotxcoty-1}{cotx+coty}\] Ta có $cot\dfrac{\pi }{8}=1+\sqrt{2}$, đặt $u_1=a=cot\alpha ,\alpha \in \left [ 0,\pi \right ]$. Từ đó ta tính được : \[u_2=\dfrac{cot\dfrac{\pi }{8}.cot\alpha -1}{cot\dfrac{\pi }{8}+cot\alpha }=cot\left ( \alpha +\dfrac{\pi }{8} \right )\] \[u_3=\dfrac{cot\dfrac{\pi }{8}.cot\left ( \alpha +\dfrac{\pi }{8} \right )-1}{cot\dfrac{\pi }{8}+cot\left ( \alpha +\dfrac{\pi }{8} \right )}=cot\left ( \alpha +2.\dfrac{\pi }{8} \right )\] Bằng quy nạp ta được $u_n=cot\left ( \alpha +(n-1)\dfrac{\pi }{8} \right )$ Do đó để $u_n$ xác định thì : \[sin\left ( \alpha +(n-1)\dfrac{\pi }{8} \right )\neq 0\Leftrightarrow \alpha +\left ( n-1 \right )\dfrac{\pi }{8}\neq k\pi \;(k\in \mathbb{Z})\Leftrightarrow a=cot\alpha \neq cot\dfrac{l\pi }{8},\;\forall l=\overline{1,7}\] Vậy để mọi số hạng của dãy đều xác định thì : \[a\neq cot\dfrac{l\pi }{8},\;\forall l=\overline{1,7}\] b) Ta có : \[u_{2011}=cot\left ( \alpha +2010.\dfrac{\pi }{8} \right )=cot\left ( \alpha +\dfrac{\pi }{8} \right )\] Để $u_{2011}=2011$ thì : \[cot\left ( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right )=2011\Leftrightarrow \dfrac{cot\alpha .cot\dfrac{\pi }{4}-1}{cot\alpha +cot\dfrac{\pi }{4}}=2011\Leftrightarrow \dfrac{a-1}{a+1}=2011\Leftrightarrow a=\dfrac{-1006}{1005}\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (THTT số 413) Xét dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi :

$⎩ ⎨ ⎧ u_{1} = a u_{n + 1} = \frac{( 2 + 1 ) u _{n} - 1}{2 + 1 + u _{n}}, \forall n \in N^{*}$

a) Tìm điều kiện của $a$ để mọi số hạng của dãy đều xác định.

b) Tìm $a$ để $u_{2011} = 2011$ .

Lời giải :

a) Ta có công thức :

$co t (x + y) = \frac{co t x co t y - 1}{co t x + co t y}$

Ta có $co t \frac{π}{8} = 1 + 2$ , đặt $u_{1} = a = co t α, α \in [0, π]$ .

Từ đó ta tính được :

$u_{2} = \frac{co t \frac{π}{8} . co t α - 1}{co t \frac{π}{8} + co t α} = co t (α + \frac{π}{8})$

$u_{3} = \frac{co t \frac{π}{8} . co t ( α + \frac{π}{8} ) - 1}{co t \frac{π}{8} + co t ( α + \frac{π}{8} )} = co t (α + 2. \frac{π}{8})$

Bằng quy nạp ta được $u_{n} = co t (α + (n - 1) \frac{π}{8})$

Do đó để $u_{n}$ xác định thì :

$s in (α + (n - 1) \frac{π}{8}) \neq = 0 \Leftrightarrow α + (n - 1) \frac{π}{8} \neq = k π (k \in Z) \Leftrightarrow a = co t α \neq = co t \frac{l π}{8}, \forall l = \overline{1, 7}$

Vậy để mọi số hạng của dãy đều xác định thì :

$a \neq = co t \frac{l π}{8}, \forall l = \overline{1, 7}$

b) Ta có :

$u_{2011} = co t (α + 2010. \frac{π}{8}) = co t (α + \frac{π}{8})$

Để $u_{2011} = 2011$ thì :

$co t (α + \frac{π}{4}) = 2011 \Leftrightarrow \frac{co t α . co t \frac{π}{4} - 1}{co t α + co t \frac{π}{4}} = 2011 \Leftrightarrow \frac{a - 1}{a + 1} = 2011 \Leftrightarrow a = \frac{- 1006}{1005}$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả