Polynomial

Bài toán (VMO 2014)

Cho đa thức $P(x)=(x^2-7x+6{)}^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Lời giải :

Gỉa sử phản chứng :

$$P(x)=P_1(x)P_2(x)...P_{n+1}(x)$$

Vì $P(x)>0,\forall x$ nên $P(x)$ không có nghiệm thực. Do đó các đa thức $P_i(x)$ cũng không có nghiệm thực, suy ra $deg{P}_i(x)$ là chẵn.

Dễ dàng chỉ ra được rằng tồn tại ít nhất hai đa thức $P_1(x),P_2(x)$ có bậc bằng $2$.

Đặt :

$$P_1(x)=x^2+ax+b,P_2(x)=x^2+cx+d,\left(a,b,c,d\in \mathbb{Z}\right)$$

Vì $P(1)=P_1(1)P_2(1)...P_{n+1}(1)=13$ nên trong hai số $P_1(1),P_2(1)$ sẽ có một số bằng $1$.

Gỉa sử $P_1(1)=1$, ta được $a+b=0$.

Lại có $P(6)=P_1(6).P_2(6)...P_{n+1}(6)=13\Rightarrow P_1(6)\in \left\{13,1\right\}$.

Nếu $P_1(6)=13$ thì $36+6a+b=13$. Kết hợp $a+b=0$ ta được $a=-23/5,b=23/5$, vô lí.

Nếu $P_1(6)=1$ thì $36+6a+b=1$. Kết hợp $a+b=0$ ta được $a=-7,b=7$. Thế nhưng lúc này đa thức $P_1(x)=x^2-7x+7$ lại có nghiệm thực, mâu thuẫn.

Ta có điều phải chứng minh.