Polynomial

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho $n$ số nguyên phân biệt $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ . Chứng minh rằng đa thức

$P (x) = (x - a_{1})^{2} (x - a_{2})^{2} ... (x - a_{n})^{2} + 1$

bất khả quy trên $Z [x]$ .

Lời giải :

Gỉa sử rằng $P (x) = A (x) B (x)$ trong đó $A (x), B (x) \in Z [x]$ .

Vì $P (x) > 0 \forall x$ nên $A (x), B (x)$ cùng dấu với mọi $x$ . Không giảm tổng quát, ta xét $A (x), B (x) > 0$ với mọi $x$ .

Ta có :

$P (a_{i}) = 1 \Rightarrow A (a_{i}) B (a_{i}) = 1 \Rightarrow A (a_{i}) = B (a_{i}) = 1$

Do đó ta được :

$A (x) = B (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{n}) + 1$

Thay vào giả thiết ban đầu :

$(x - a_{1})^{2} (x - a_{2})^{2} ... (x - a_{n})^{2} + 1 = [(x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{n}) + 1]^{2}, \forall x \Leftrightarrow (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{n}) = 0, \forall x$

Và đẳng thức này là không thể có. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho số nguyên phân biệt . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Gỉa sử rằng trong đó . Vì nên cùng dấu với mọi . Không giảm tổng quát, ta xét với mọi . Ta có : Do đó ta được : Thay vào giả thiết ban […]

Đa thức

Nguồn: julielltv