Bài toán : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : \[P(x)P(3x^2)=P(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)\] Lời giải : Trong $(1)$ cho $x=0$ được $P(0)=0$ hoặc $P(0)=1$. Nếu $P(0)=0$, ta đặt $P(x)=x^k.Q(x)$ trong đó $Q(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ],Q(0)\neq 0$. Thay vào $(1)$ : \[x^k.Q(x).(3x^2)^k.Q(3x^2)=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3x^k.Q(x).Q(3x^2)=(3x+1)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)\] Trong $(2)$ lấy $x=0$ được $Q(0)=0$. Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được $P(x)\equiv 0$. Nếu $P(0)=1$, ta đặt $P(x)=x^k.Q(x)+1$ trong đó $Q(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ],Q(0)\neq 0$. Thay vào $(1)$ : \[\left [ x^k.Q(x)+1 \right ]\left [ 3^k.x^{2k}.Q(3x^2)+1 \right ]=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2)+1,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow x^{3k}.3^k.Q(x).Q(3x^2)+x^k.Q(x)+3^k.x^{2k}.Q(3x^2)=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow x^{2k}.3^k.Q(x).Q(3x^2)+Q(x)+3^k.x^k.Q(3x^2)=(3x^2+x)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(3)\] Trong $(3)$ ta lấy $x=0$ thì $Q(0)=0$. Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được $P(x)\equiv 1$ Có hai đa thức hằng thỏa mãn đề bài là $P(x)\equiv 0$, $P(x)\equiv 1$

Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P (x) P (3 x^{2}) = P (3 x^{3} + x^{2}), \forall x \in R (1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x = 0$ được $P (0) = 0$ hoặc $P (0) = 1$ .

Nếu $P (0) = 0$ , ta đặt $P (x) = x^{k} . Q (x)$ trong đó $Q (x) \in R [x], Q (0) \neq = 0$ . Thay vào $(1)$ :

$x^{k} . Q (x) . (3 x^{2})^{k} . Q (3 x^{2}) = (3 x^{3} + x^{2})^{k} . Q (3 x^{3} + x^{2}), \forall x \in R \Leftrightarrow 3 x^{k} . Q (x) . Q (3 x^{2}) = (3 x + 1)^{k} . Q (3 x^{3} + x^{2}), \forall x \in R (2)$

Trong $(2)$ lấy $x = 0$ được $Q (0) = 0$ . Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được $P (x) \equiv 0$ .

Nếu $P (0) = 1$ , ta đặt $P (x) = x^{k} . Q (x) + 1$ trong đó $Q (x) \in R [x], Q (0) \neq = 0$ . Thay vào $(1)$ :

$[x^{k} . Q (x) + 1] [3^{k} . x^{2 k} . Q (3 x^{2}) + 1] = (3 x^{3} + x^{2})^{k} . Q (3 x^{3} + x^{2}) + 1, \forall x \in R \Leftrightarrow x^{3 k} . 3^{k} . Q (x) . Q (3 x^{2}) + x^{k} . Q (x) + 3^{k} . x^{2 k} . Q (3 x^{2}) = (3 x^{3} + x^{2})^{k} . Q (3 x^{3} + x^{2}), \forall x \in R \Leftrightarrow x^{2 k} . 3^{k} . Q (x) . Q (3 x^{2}) + Q (x) + 3^{k} . x^{k} . Q (3 x^{2}) = (3 x^{2} + x)^{k} . Q (3 x^{3} + x^{2}), \forall x \in R (3)$

Trong $(3)$ ta lấy $x = 0$ thì $Q (0) = 0$ . Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được $P (x) \equiv 1$

Có hai đa thức hằng thỏa mãn đề bài là $P (x) \equiv 0$ , $P (x) \equiv 1$

Polynomial

Đề bài

Mô tả