Number Theory

Bài toán (Bonisa Herzegovina TST 2014)

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(x,y)$ thỏa mãn phương trình :

$$7^x-2.5^y=-1$$

Lời giải :

Dễ dàng kiểm tra được cặp $(0,0),(2,2)$ thỏa mãn. Ta xét $x,y>2$. Viết lại phương trình :

$$49(7^{x-2}-1)=50(5^{y-2}-1)$$

Ta có :

$$5^{y-2}\equiv 1(mod49)\Rightarrow or{d}_{49}(5)\mid y-2\Rightarrow 42\mid y-2$$

Suy ra :

$$31\mid 5^3-1\mid 5^{42}-1\mid 5^{y-2}-1$$

Do vậy mà :

$7^{x-2}$$\equiv 1(mod31)$$\Rightarrow or{d}_{31}(7)\mid x-2$$\Rightarrow 30\mid x-2$$\Rightarrow 15\mid x-2(1)$

Thế nhưng lại dễ thấy :

$$7^{x-2}\equiv 1(mod5)\Rightarrow or{d}_5(7)\mid x-2\Rightarrow 4\mid x-2(2)$$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$$60\mid x-2\Rightarrow 7^{x-2}-1⋮7^{60}-1⋮125$$

Mà ta lại có $125\nmid 50(5^{y-2}-1)$, đến đây ta gặp mâu thuẫn.

Đáp số của bài toán là $(0,0),(2,2)$.