Bài toán (Albania TST 2009) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn : \[P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )\leq P^2(1),\;\forall x> 0\] Lời giải : Dễ thấy đa thức đồng nhất hằng số khác không thoả mãn. Gỉa sử $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0,a_i\geq 0,\;\forall i=\overline{0,n})$ Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ : \[P(x)P\left ( \dfrac{1}{x} \right )=\left ( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \right )\left ( a_n.\dfrac{1}{x^n}+a_{n-1}.\dfrac{1}{x^{n-1}}+...+a_1.\dfrac{1}{x} +a_0\right )\geq (a_n+...+a_1+a_0)^2=P^2(1)\] Kết hợp với giả thiết đề bài ta được : \[P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )=P^2(1),\;\forall x> 0\] Hay tương đương : \[\left ( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \right )\left ( a_n+a_{n-1}x+...+a_1x^{n-1} +a_0x^n\right )=(a_0+a_1+...+a_n)^2x^n,\;\forall x> 0\] Đồng nhất hệ số của $x^n$ ở hai vế : \[a_0^2+a_1^2+...+a_n^2=(a_0+a_1+...+a_n)^2\Leftrightarrow \underset{0\leq i\leq j\leq n }{\sum} a_ia_j=0\Leftrightarrow a_0=a_1=...=a_{n-1}=0\] Từ đó thu được $P(x)=ax^n,\;\forall x> 0$. Đáp số bài toán là : \[P(x)\equiv a=const\;(a\neq 0),P(x)=ax^n,\;\forall x> 0\]

Polynomial

Bài toán (Albania TST 2009)

Tìm tất cả các đa thức $P (x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn :

$P (x) . P (\frac{1}{x}) \leq P^{2} (1), \forall x > 0$

Lời giải :

Dễ thấy đa thức đồng nhất hằng số khác không thoả mãn.

Gỉa sử $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0} (a_{n} \neq = 0, a_{i} \geq 0, \forall i = \overline{0, n})$

Áp dụng BĐT $C a u c h y - S c h w a r z$ :

$P (x) P (\frac{1}{x}) = (a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}) (a_{n} . \frac{1}{x ^{n}} + a_{n - 1} . \frac{1}{x ^{n - 1}} + ... + a_{1} . \frac{1}{x} + a_{0}) \geq (a_{n} + ... + a_{1} + a_{0})^{2} = P^{2} (1)$

Kết hợp với giả thiết đề bài ta được :

$P (x) . P (\frac{1}{x}) = P^{2} (1), \forall x > 0$

Hay tương đương :

$(a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}) (a_{n} + a_{n - 1} x + ... + a_{1} x^{n - 1} + a_{0} x^{n}) = (a_{0} + a_{1} + ... + a_{n})^{2} x^{n}, \forall x > 0$

Đồng nhất hệ số của $x^{n}$ ở hai vế :

$a_{0}^{2} + a_{1}^{2} + ... + a_{n}^{2} = (a_{0} + a_{1} + ... + a_{n})^{2} \Leftrightarrow 0 \leq i \leq j \leq n \sum a_{i} a_{j} = 0 \Leftrightarrow a_{0} = a_{1} = ... = a_{n - 1} = 0$

Từ đó thu được $P (x) = a x^{n}, \forall x > 0$ .

Đáp số bài toán là :

$P (x) \equiv a = co n s t (a \neq = 0), P (x) = a x^{n}, \forall x > 0$

Polynomial

Đề bài

Mô tả