Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực và thỏa mãn :

$$P^2(x)-2=2P(2x^2-1),\forall x\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Đặt $P(1)=a$, trong $(1)$ cho $x=1$ :

$$P^2(1)-2P(1)-2=0\iff P(1)=a=1\pm \sqrt{3}$$

Đặt $P(x)=(x-1{)}^k.Q(x)+a$ trong đó $Q(x)\in \mathbb{R}\left[x\right],Q(1)\ne 0$. Thay vào $(1)$ :

${\left[(x-1{)}^k.Q(x)+a\right]}^2-2$$=2\left[(2x^2-2{)}^k.Q(2x^2-1)+a\right],\forall x\in \mathbb{R}$$\iff (x-1{)}^{2k}{Q}^2(x)+2a(x-1{)}^k.Q(x)+a^2-2$$=2^{k+1}(x-1{)}^k.(x+1{)}^k.Q(2x^2-1)+2a,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff (x-1{)}^k.Q^2(x)+2aQ(x)$$=2^{k+1}(x+1{)}^k.Q(2x^2-1),\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Trong $(2)$ lại cho $x=1$ được :

$$2aQ(1)=2^{2k+1}Q(1)\iff Q(1)=0$$

Mâu thuẫn với cách đặt trên. Từ đó ta có :

$$P(x)\equiv a=1\pm \sqrt{3}$$