Polynomial

Bài toán : Cho số tự nhiên $n\ge 4$. Chứng minh rằng đa thức $f(x)=x^n+x^3+x^2+x+5$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left[x\right]$.

Lời giải :

Gỉa sử rằng :

$$f(x)=A(x)B(x),A(x),B(x)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$$.

Ta có :

$$f(0)=5\Rightarrow A(0).B(0)=5\Rightarrow |A(0)|=1\vee |B(0)|=1$$

Không giảm tổng quát, ta giả sử $|A(0)|=1$.

Gọi $a_i\forall i=\overline{1,k}$ là $k$ nghiệm của $A(x)$. Ta biểu diễn :

$$A(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_k)$$

Ta có :

$$\left|A(0)\right|=1\Rightarrow \left|a_1{a}_2...a_k\right|=1$$

Như vậy thì $\exists i\in \left\{1,2,...,k\right\}:\left|a_i\right|\le 1$

Khi đó thì :

$\left|f(a_i)\right|$$=\left|a_i^n+a_i^3+a_i^2+a_i+5\right|$$\ge 5-|a_i{|}^n-|a_i{|}^3-|a_i{|}^2-|a_i|$$\ge 5-1-1-1-1$$=1$

Và đây là điều mâu thuẫn vì $f(a_i)=0$.