Polynomial

Bài toán (Romania 2001) 

Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :

$$P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1),\forall x\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Dễ thấy đa thức hằng thỏa mãn.

Ta có :

$\frac{P(x)}{P(2x-1)}$$=\frac{P(x^2)}{P(2x^2-1)}$$=\frac{P(x^4)}{P(2x^4-1)}$$=...$$=\frac{P(x^{2^k})}{P(2x^{2^k}-1)}$

Hơn nữa ta có :

$$\underset{k\to \to +\infty }{\lim }\frac{P(x^{2^k})}{P(2x^{2^k}-1)}=\frac{1}{2^n}$$

Với $n=degP(x)$.

Từ đó suy ra :

$$2^{n}P(x)=P(2x-1)\iff 2^{n}P(x+1)=P(2x+1)$$

Đặt $P(x+1)=Q(x)$ ta được :

$$2^{n}Q(x)=Q(2x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Đặt $Q(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0(a_n\ne 0)$

Ta được :

$2^n(a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0)$$=a_n(2x{)}^n+a_{n-1}(2x{)}^{n-1}+...+a_1.2x+a_0,\forall x\in \mathbb{R}$

Đồng nhất hệ số của $x^i,\forall i=\overline{0,n-1}$ ta suy ra $a_i=0,\forall i=\overline{0,n-1}$

Dẫn đến :

$$Q(x)=a{x}^n,\forall x\in \mathbb{R}\iff P(x)=a(x-1{)}^n,\forall x\in \mathbb{R}$$

Như vậy đáp số bài toán là :

$$P(x)\equiv const,P(x)=a(x-1{)}^n,\forall x\in \mathbb{R},a=const,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$