Number Theory

Bài toán : Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình :

$$33^x+31=2^y$$

Lời giải :

Nếu $0\le y\le 6$ thì thử trực tiếp ta được $(x,y)=(0,5),(1,6)$. Ta xét $y>6$. Khi đó $x>1$.

Đưa phương trình về dạng :

$$33(33^{x-1}-1)=2^6(2^{y-6}-1)$$

Từ phương trình trên suy ra :

$$2^{y-6}\equiv 1(mod33)\Rightarrow or{d}_{33}(2)\mid y-6\Rightarrow 20\mid y-6$$

Dẫn đến :

$$2^{y-6}-1⋮2^{20}-1⋮5$$

Từ đó kéo theo :

$$33^{x-1}\equiv 1(mod5)\Rightarrow or{d}_5(33)\mid x-1\Rightarrow 4\mid x-1$$

Lúc này ta được

$$2^6(2^{y-6}-1)⋮33^{x-1}-1⋮33^4-1⋮2^7$$

Và đây là điều vô lí. Như vậy đáp số của bài toán là $(x,y)=(0,5),(1,6)$.