Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 327) Cho hai dãy số $(x_n),(y_n)$ thỏa mãn $x_1=1,y_1=1$ và : \[\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=-3x_n^2-2x_ny_n+8y_n^2\\ y_{n+1}=2x_n^2+3x_ny_n-2y_n^2 \end{matrix}\right.\] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $x_p+y_p$ không chia hết cho $p$. Lời giải : Ta có : \[x_{n+1}+2y_{n+1}=(-3x_n^2-2x_ny_n+8y_n^2)+2(2x_n^2+3x_ny_n-2y_n^2)=(x_n+2y_n)^2=(x_{n-1}+2y_{n-1})^{2^2}=...=(x_1+2y_{1})^{2^n}=1\;\;\;\;\;(1)\] Dễ dàng chỉ ra được $y_n\neq 0,\;\forall n\in \mathbb{N}^*$. Từ đó ta có : \[\dfrac{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\dfrac{-3x_n^2-2x_ny_n+8y_n^2}{2x_n^2+3x_ny_n-2y_n^2}=-\dfrac{(3x_n-4y_n)(x_n+2y_n)}{(2x_n-y_n)(x_n+2y_n)}=-\dfrac{3x_n-4y_n}{2x_n-y_n}\] Đặt $a_n=\dfrac{x_n}{y_n}$ ta được : \[a_{n+1}=\dfrac{3a_n-4}{2a_n-1}\] Lại đặt $a_n=u_n+1$ thay vào công thức trên ta được : \[u_{n+1}+1=\dfrac{4-3(u_n+1)}{2(u_n+1)-1}\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{-5u_n}{2u_n+1}\Leftrightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{-1}{5u_n}\] Đến đây dễ dàng tìm được $u_n$, từ đó tìm được : \[a_n=\dfrac{1-4.(-5)^{n-1}}{1+2.(-5)^{n-1}}=\dfrac{x_n}{y_n}\;\;\;\;(2)\] Từ $(1)(2)$ ta tìm được : \[x_n=\dfrac{1-4.(-5)^{n-1}}{3},y_n=\dfrac{1+2.(-5)^{n-1}}{3}\] Kéo theo : \[x_n+y_n=\dfrac{2-2.(-5)^{n-1}}{3}\] Nhận thấy $p=2$ không thỏa mãn. Xét $p=3,p=5$ thỏa mãn. Xét $p>5$. Theo định lí Fermat nhỏ thì : \[(-5)^{p-1}\equiv 1\;(mod\;p)\] Từ đó $x_p+y_p\equiv 0\;(mod\;p)$ Đáp số bài toán là $p=3$ hoặc $p=5$.

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 327)

Cho hai dãy số $(x_{n}), (y_{n})$ thỏa mãn $x_{1} = 1, y_{1} = 1$ và :

${x_{n + 1} = - 3 x_{n}^{2} - 2 x_{n} y_{n} + 8 y_{n}^{2} y_{n + 1} = 2 x_{n}^{2} + 3 x_{n} y_{n} - 2 y_{n}^{2}$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $x_{p} + y_{p}$ không chia hết cho $p$ .

Lời giải :

Ta có :

$x_{n + 1} + 2 y_{n + 1} = (- 3 x_{n}^{2} - 2 x_{n} y_{n} + 8 y_{n}^{2}) + 2 (2 x_{n}^{2} + 3 x_{n} y_{n} - 2 y_{n}^{2}) = (x_{n} + 2 y_{n})^{2} = (x_{n - 1} + 2 y_{n - 1})^{2^{2}} = ... = (x_{1} + 2 y_{1})^{2^{n}} = 1 (1)$

Dễ dàng chỉ ra được $y_{n} \neq = 0, \forall n \in N^{*}$ . Từ đó ta có :

$\frac{x _{n + 1}}{y _{n + 1}} = \frac{- 3 x _{n}^{2} - 2 x _{n} y _{n} + 8 y _{n}^{2}}{2 x _{n}^{2} + 3 x _{n} y _{n} - 2 y _{n}^{2}} = - \frac{( 3 x _{n} - 4 y _{n} ) ( x _{n} + 2 y _{n} )}{( 2 x _{n} - y _{n} ) ( x _{n} + 2 y _{n} )} = - \frac{3 x _{n} - 4 y _{n}}{2 x _{n} - y _{n}}$

Đặt $a_{n} = \frac{x _{n}}{y _{n}}$ ta được :

$a_{n + 1} = \frac{3 a _{n} - 4}{2 a _{n} - 1}$

Lại đặt $a_{n} = u_{n} + 1$ thay vào công thức trên ta được :

$u_{n + 1} + 1 = \frac{4 - 3 ( u _{n} + 1 )}{2 ( u _{n} + 1 ) - 1} \Leftrightarrow u_{n + 1} = \frac{- 5 u _{n}}{2 u _{n} + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{u _{n + 1}} = \frac{- 2}{5} + \frac{- 1}{5 u _{n}}$

Đến đây dễ dàng tìm được $u_{n}$ , từ đó tìm được :

$a_{n} = \frac{1 - 4. ( - 5 ) ^{n - 1}}{1 + 2. ( - 5 ) ^{n - 1}} = \frac{x _{n}}{y _{n}} (2)$

Từ $(1) (2)$ ta tìm được :

$x_{n} = \frac{1 - 4. ( - 5 ) ^{n - 1}}{3}, y_{n} = \frac{1 + 2. ( - 5 ) ^{n - 1}}{3}$

Kéo theo :

$x_{n} + y_{n} = \frac{2 - 2. ( - 5 ) ^{n - 1}}{3}$

Nhận thấy $p = 2$ không thỏa mãn. Xét $p = 3, p = 5$ thỏa mãn. Xét $p > 5$ . Theo định lí Fermat nhỏ thì :

$(- 5)^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)$

Từ đó $x_{p} + y_{p} \equiv 0 (m o d p)$

Đáp số bài toán là $p = 3$ hoặc $p = 5$ .

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả