Polynomial

Bài toán (USA MO 1977) 

Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức $x^4+x^3-1$ là nghiệm của đa thức $x^6+x^4+x^3-x^2-1$.

Lời giải :

Đặt $P(x)=x^4+x^3-1$ và $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$.

Gỉa sử $P(x)$ có bốn nghiệm $a,b,c,d$. Theo định lí $Viete$ ta có $abcd=-1$.

Ta chứng minh :

$Q(ab)$$=0$$\iff (ab{)}^6+(ab{)}^4+(ab{)}^3-(ab{)}^2-1$$=0$$\iff (ab{)}^3+ab+1-\frac{1}{ab}-\frac{1}{(ab{)}^3}$$=0$$\iff (ab{)}^3+ab+1+cd+(cd{)}^3$$=0$

Ta có :

$$P(a)=0\Rightarrow a^3(a+1)=1\Rightarrow a^3=\frac{1}{1+a}$$

Tương tự thì được $b^3=\frac{1}{1+b}$. Hơn nữa ta có :

$$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\Rightarrow P(-1)=-1=(-1-a)(-1-b)(-1-c)(-1-d)=(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)$$

Do vậy mà $a^3{b}^3=\frac{1}{(1+a)(1+b)}=-(1+c)(1+d)$. Tương tự $c^3{d}^3=-(1+a)(1+b)$.

Như vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$-(1+c)(1+d)+ab+1+cd-(1+a)(1+b)=0\iff a+b+c+d=-1$$

Điều này luôn đúng theo $Viete$, ta có điều phải chứng minh.