Inequality

Bài toán (Korean National Olympiad 2009) 

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^3}{c(a^2+bc)}+\frac{b^3}{a(b^2+ca)}+\frac{c^3}{b(c^2+ab)}\ge \frac{3}{2}$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\frac{a^3}{c(a^2+bc)}+\frac{a^2+bc}{4ac}$$\ge 2\sqrt{\frac{a^3.(a^2+bc)}{c(a^2+bc).4ca}}$$=\frac{c}{a}$$\iff \frac{a^3}{c(a^2+bc)}$$\ge \frac{1}{4}\left(\frac{3a}{c}-\frac{b}{a}\right)$

Hoàn toàn tương tự :

$$\frac{b^3}{a(b^2+ca)}\ge \frac{1}{4}\left(\frac{3b}{a}-\frac{c}{b}\right)$$

$$\frac{c^3}{b(c^2+ab)}\ge \frac{1}{4}\left(\frac{3c}{b}-\frac{a}{c}\right)$$

Cộng các BĐT trên theo vế ta được điều phải chứng minh :

$\frac{a^3}{c(a^2+bc)}+\frac{b^3}{a(b^2+ca)}+\frac{c^3}{b(c^2+ab)}$$\ge$$\ge \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)$$\ge \frac{3}{2}$