Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :

$$P(x^2-2x)=P^2(x-2),\forall x\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Bổ đề : Nếu $P(x)$ là đa thức thỏa mãn $P(x^2)=P^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$ thì $P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)\equiv x^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

Chứng minh bổ đề :

Nếu $P(x)$ đồng nhất hằng số thì ta dễ thấy $P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1$

Nếu $degP(x)\ge 1$ thì đặt $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0(a_n\ne 0)$.

Ta đi chứng minh $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_1=a_0=0$. Gỉa sử ngược lại, một trong các số $a_i\ne 0,\forall i=\overline{0,n-1}$.

Gọi $k<n$ là số lớn nhất sao cho $a_k\ne 0$. Ta có :

$$P(x^2)=a_n{x}^{2n}+a_k{x}^{2k}+...+a_1{x}^2+a_0$$

$$P^2(x)={\left(a_n{x}^n+a_k{x}^k+...a_{1}x+a_0\right)}^2$$

Đồng nhất hệ số của $x^{n+k}$ ta có :

$$2a_n{a}_k=0$$

Đây là điều mâu thuẫn. Và do đó $a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$. Từ đó dễ dàng chỉ ra được $P(x)=x^n,\forall x\in \mathbb{R}$.

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta có :

$$P(x^2-2x)=P^2(x-2)\iff P\left[(x-1{)}^2-1\right]=P^2\left[(x-1)-1\right]$$

Do vậy nếu ta đặt $Q(x)=P(x-1)$ thì :

$$Q(x^2)=Q^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Theo bổ đề ta được :

$$P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)=(x+1{)}^n,\forall x\in \mathbb{R}$$