Sequence – Limit

Bài toán (Thi chọn HSG tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2011-2012) 

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=4\\ u_{n+1}=\frac{1}{9}\left(u_n+4+4\sqrt{1+2u_n}\right)\end{array}$$

Tìm công thức tổng quát của dãy trên.

Lời giải :

Đặt $x_n=\sqrt{1+2u_n}$, kéo theo $u_n=\frac{x_n^2-1}{2}$.

Thay vào công thức đề bài, ta được :

$\frac{x_{n+1}^2-1}{2}$$=\frac{1}{9}\left(\frac{x_n^2-1}{2}+4+4x_n\right)$$\iff 9x_{n+1}^2$$=x_n^2+8x_n+16$$\iff x_{n+1}$$=\frac{1}{3}{x}_n+\frac{4}{3}$

Đặt $v_n=x_n-2$ ta được :

$$v_{n+1}+2=\frac{1}{3}\left(v_n+2\right)+\frac{4}{3}\iff v_{n+1}=\frac{1}{3}{v}_n$$

Lại có $v_1=1$ nên :

$$v_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}.v_1={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$$

Như vậy công thức tổng quát của $(u_n)$ là :

$u_n$$=\frac{1}{2}(x_n^2-1)$$=\frac{(v_n+2{)}^2-1}{2}$$=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n-2}+4.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}+3\right]$