[Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha] Bài 101 Cho \(a,b,c\) là các số thực phân biệt. a) Xác định giá tr

[Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha]

Bài 101 Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt. 

a) Xác định giá trị của biểu thức :

$A$$=\frac{1+ab}{a-b}.\frac{1+bc}{b-c}+\frac{1+bc}{b-c}.\frac{1+ca}{c-a}+\frac{1+ca}{c-a}.\frac{1+ab}{a-b}$

$B$$=\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-bc}{b-c}.\frac{1-ca}{c-a}+\frac{1-ca}{c-a}.\frac{1-ab}{a-b}$

b) Chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{1+a^2{b}^2}{(a-b{)}^2}+\frac{1+b^2{c}^2}{(b-c{)}^2}+\frac{1+c^2{a}^2}{(c-a{)}^2}\ge \frac{3}{2}$$

Bài 102 Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Ta đặt :

$$A=\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}$$

$B$$=\frac{1}{\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}}+\frac{1}{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)}}+\frac{1}{\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}}$

Chứng minh rằng $AB\ge 9$.

Bài 103 Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2{b}^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2{c}^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2{a}^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}$$\ge \frac{3}{ab+bc+ca}$

Bài 104 Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge \frac{1}{a+b+c}$$

Bài 105 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn :

$$a+b+c=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$

Chứng minh rằng :

$$2(a+b+c)\ge \sqrt[3]{7a^{2}b+1}+\sqrt[3]{7b^{2}c+1}+\sqrt[3]{7c^{2}a+1}$$

Tìm tất cả các bộ ba $(a,b,c)$ để đẳng thức xảy ra.

Bài 106 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}\ge 3(ab+bc+ca)-2$$

Bài 107 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca\le 1$. Chứng minh rằng :

$$a+b+c+\sqrt{3}\ge 8abc\left(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)$$

Bài 108 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức :

$\frac{2ab+bc+ca}{ab(a^2+ab+b^2)}+\frac{ab+2bc+ca}{bc(b^2+bc+c^2)}+\frac{ab+bc+2ca}{ca(c^2+ca+a^2)}$$\ge \frac{12}{a^2+b^2+c^2}$

Bài 109 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a+b}{ab(1+ab)}+\frac{bc}{bc(1+bc)}+\frac{ca}{ca(1+ca)}\ge 3$$

Bài 110 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau :

$$\frac{ab}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{bc}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{ca}{a^2+b^2+2c^2}\le \frac{3}{4}$$

Bài 111 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{3+2(a^2-bc)}+\frac{1}{3+2(b^2-ca)}+\frac{1}{3+2(c^2-ab)}\ge 1$$

Bài 112 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$A=\frac{1}{\sqrt{a^2+ab-a+5}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc-b+5}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ca-c+5}}$$

Bài 113 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^3(b^7+c+1)}{b^7(b+1)(c+1)}+\frac{b^3(c^7+a+1)}{c^7(c+1)(a+1)}+\frac{c^3(a^7+b+1)}{c^7(a+1)(b+1)}$$\ge \frac{9}{4}$

Bài 114 Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=3$. Chứng minh rằng :

$\frac{4x+5}{x^3+x{y}^2+3xyz}+\frac{4y+5}{y^3+y{z}^2+3xyz}+\frac{4z+5}{z^3+z{x}^2+3xyz}$$\ge \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$

Bài 115 Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}$$\ge \sqrt{6.\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}}$

Bài 116 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh :

$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$$

Bài 117 Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng :

$\frac{13}{4}\left(ab+bc+ca\right)$$\le 1+4abc\left(\frac{a}{(a+1{)}^2}+\frac{b}{(b+1{)}^2}+\frac{c}{(c+1{)}^2}\right)$

Bài 118 Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0$$

Bài 119 Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3xyz$. Chứng minh :

$$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\ge 2(x+y+z)-3$$

Bài 120 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh :

$\frac{a}{1+(b+c{)}^2}+\frac{b}{1+(c+a{)}^2}+\frac{c}{1+(a+b{)}^2}$$\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

Bài 121 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt[4]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)}{2}}+\sqrt[4]{\frac{(b^2+c^2)(b^2-bc+c^2)}{2}}+\sqrt[4]{\frac{(c^2+a^2)(c^2-ca+a^2)}{2}}$$

$$\le \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2).\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$$

Bài 122 Cho $x,y,z>0$. Chứng minh :

$\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}$$\ge \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Bài 123 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}$$\le \frac{9}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}$

Bài 124 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c{)}^2}+\frac{b^2+ca}{b^2+(c+a{)}^2}+\frac{c^2+ab}{c^2+(a+b{)}^2}$$\le \frac{18}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Bài 125 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\ge 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{7}{2}$$

Bài 126  Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm $k$ lớn nhất sao cho :

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3\ge k(a^2+b^2+c^2-3)$$

Bài 127 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)$$

Bài 128 Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ thì ta luôn có bất đẳng thức :

$$k(a^4+b^4+c^4-3)\ge a^3+b^3+c^3+3abc-6$$

Bài 129 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=9$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=2(a+b-c)+abc$$

Bài 130 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho :

$$1-abc\ge k\left(ab+bc+ca-3abc\right)$$

Bài 131 Cho các số thực $a,b,c\in \left[\frac{1}{3},3\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$

Bài 132 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh :

$\left(\frac{4a}{b+c}+1\right)\left(\frac{4b}{c+a}+1\right)\left(\frac{4c}{a+b}+1\right)$$\ge 25$

Bài 133 Cho bốn số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng :

$$abc+bcd+cda+dab\le \frac{1}{27}+\frac{176}{27}abcd$$

Bài 134 Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh :

$$(1+3a)(1+3b)(1+3c)(1+3d)\le 125+131abcd$$

Bài 135 Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng :

$$3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd\ge 16$$

Bài 136 Tìm tất cả các hằng số $k$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương $a,b,c$ :

$\left(\frac{a}{b+c}+k\right)\left(\frac{b}{c+a}+k\right)\left(\frac{c}{a+b}+k\right)$$\ge {\left(k+\frac{1}{2}\right)}^3$

Bài 137 Cho $x,y,z>0$ và $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{27}{2}$. Chứng minh :

$$x^2+y^2+z^2\le 2(xy+yz+zx)$$

Bài 138 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng :

$\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{k\left(ab+bc+ca\right)}{{\left(a+b+c\right)}^2}$$\ge \frac{3}{8}+\frac{k}{3}$

Bài 139 Với các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho :

$$a+b+c+kabc\ge 3+k$$

Bài 140 Tìm số thực dương $k$ lớn nhất thỏa sao cho với mọi số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ thì bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6k}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\ge 3+k$$

Bài 141 Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương $a,b,c$ :

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+k.\frac{(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$$\ge 9+k$

Bài 142 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$. Tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho ta luôn có bất đẳng thức :

$$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge k(a+b+c+1)$$

Bài 143 Tìm số thực $M$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ dương. 

$$a^3+b^3+c^3-3abc\ge M\left(a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2-3abc\right)$$

Bài 144 Cho các số dương $x,y,z$. Tìm số $k$ lớn nhất sao cho :

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3k\ge (k+1).\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$$

Bài 145 Tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm và thỏa $a+b+c=1$ :

$$\frac{a}{1+9bc+k(b-c{)}^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a{)}^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b{)}^2}\ge \frac{1}{2}$$

Bài 146 

a) Cho các số thực không âm $a,b,c$ đôi một khác nhau. Chứng minh :

$$(ab+bc+ca)\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]\ge 4$$

b) Cho các số thực không âm $a,b,c$ đôi một khác nhau. Chứng minh :

$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]$$\ge \frac{11+5\sqrt{5}}{2}$

c) Cho các số thực không âm $a,b,c$ đôi một khác nhau. Chứng minh :

$\left[(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2\right]\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]$$\ge \frac{59+11\sqrt{33}}{4}$

d) Cho các số thực $a,b,c$ khác nhau đôi một. Chứng minh :

$\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]$$\ge \frac{27}{4}$

e) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện phân thức có nghĩa. Chứng minh :

${\left(a+b+c\right)}^2\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]$$\ge 9+6\sqrt{3}$

f) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện phân thức có nghĩa. Chứng minh :

$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]$$\ge \frac{9}{2}$

 Bài 147 Cho các số $a,b,c$ không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh các bất đẳng thức

a)

$$3+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \frac{12(ab+bc+ca)}{(a+b+c{)}^2}$$

b) 

$$2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Bài 148 Cho các số không âm $a,b,c$ và không có hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh :

$$\frac{3a^3+abc}{b^3+c^3}+\frac{3b^3+abc}{c^3+a^3}+\frac{3c^3+abc}{a^3+b^3}\ge 6$$

Bài 149 Cho các số không âm $a,b,c$ và không có hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^3+abc}{b+c}+\frac{b^3+abc}{c+a}+\frac{c^3+abc}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2$$

Bài 150 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh :

$$\frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{b^3+abc}{c^3+a^3+abc}+\frac{c^3+abc}{a^3+b^3+abc}\ge 2$$

Bài 151 Cho các số dương $a,b,c,d,e$ thoả mãn $a+b+c+d+e=5$. Chứng minh :

$9\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)$$\ge 5+7(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)$

Bài 152 Cho các số dương $a,b,c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^2}{a+2}+\frac{b^2}{b+2}+\frac{c^2}{c+2}\le \frac{3}{ab+bc+ca}$$

Bài 153 Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $4$. Chứng minh :

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2$$

Bài 154 

a) Cho các số thực dương $a,b,c,x,y,z$. Chứng minh rằng :

$${\left[(a+b)z+(b+c)y+(c+a)x\right]}^2\ge 4(abz+bcy+cax)(x+y+z)$$ 

b) Cho các số thực dương $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $def+de+ef+fd=4$. Chứng minh rằng :

$${\left[(a+b)de+(b+c)ef+(c+a)fd\right]}^2\ge 12(abde+bcef+cafd)$$