Inequality

Bài toán (Bonisa Herzegovina TST 2014)

Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt. 

a) Xác định giá trị của biểu thức :

$A$$=\frac{1+ab}{a-b}.\frac{1+bc}{b-c}+\frac{1+bc}{b-c}.\frac{1+ca}{c-a}+\frac{1+ca}{c-a}.\frac{1+ab}{a-b}$

$B$$=\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-bc}{b-c}.\frac{1-ca}{c-a}+\frac{1-ca}{c-a}.\frac{1-ab}{a-b}$

b) Chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{1+a^2{b}^2}{(a-b{)}^2}+\frac{1+b^2{c}^2}{(b-c{)}^2}+\frac{1+c^2{a}^2}{(c-a{)}^2}\ge \frac{3}{2}$$

Lời giải :

a) Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

b) Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\ge XY+YZ+ZX$ ta được :

${\left(\frac{1+ab}{a-b}\right)}^2+{\left(\frac{1+ab}{a-b}\right)}^2+{\left(\frac{1+ab}{a-b}\right)}^2$$\ge A$$=1$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\ge -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

${\left(\frac{1-ab}{a-b}\right)}^2+{\left(\frac{1-ab}{a-b}\right)}^2+{\left(\frac{1-ab}{a-b}\right)}^2$$\ge -2B$$=2$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$\sum _{cyc}\frac{(1+ab{)}^2+(1-ab{)}^2}{(a-b{)}^2}$$\ge 3$$\iff \sum _{cyc}\frac{1+a^2{b}^2}{(a-b{)}^2}$$\ge \frac{3}{2}$

Đây là điều cần chứng minh.