Bài toán (Indian National Olympiad 2013) Tìm tất cả các số tự nhiên $m,n$ và số nguyên tố $p\geq 5$ thỏa mãn : \[m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)\] Lời giải : Ta đưa phương trình về dạng : \[(4m+1)(m^2+3)=3p^n\] Nếu $n=0$ thì $(4m+1)(m^3+3)=3$, ta được $m=0$. Nếu $n=1$ thì $(4m+1)(m^3+3)=3p$. Dễ thấy loại trường hợp này. Ta chỉ xét $n\geq 2$, do $m=0$ không thỏa nên ta cũng xét $m>0$. Do $4m+1>3$ và $m^3+3>3$ nên cả hai số này phải cùng chia hết cho $p$. Ta có : \[p\mid m(4m+1)-4(m^2+3)\Rightarrow p\mid m-12\Rightarrow p\mid 4m-28\Rightarrow p\mid (4m+1)-49\Rightarrow p\mid 49\Rightarrow p=7\] Ta được phương trình : \[(4m+1)(m^2+3)=3.7^n\] Có hai khả năng xảy ra. Ta xét khả năng thứ nhất là : \[\left\{\begin{matrix} 4m+1=7^x\\ m^2+3=3.7^y \end{matrix}\right.\;(x,y\geq 1;x,y\in \mathbb{N})\] Khử $m$ từ hai phương trình : \[\left ( \dfrac{7^x-1}{4} \right )^2+3=3.7^y\Leftrightarrow (7^x-1)^2+48=48.7^y\Leftrightarrow 7^{2x}-2.7^x+49=48.7^y\] Gỉa sử rằng $x,y>2$ thì kéo theo : \[7^{x-2}-2.7^{x-2}+1=48.7^{y-2}\] Đẳng thức này là không thể xảy ra. Do vậy ta suy ra hoặc $x\leq 2$ hoặc $y\leq 2$. Thử trực tiếp ta được $m=12$ ứng với $x=y=2$. Tiếp theo xét khả năng thứ hai : \[\left\{\begin{matrix} 4m+1=3.7^x\\ m^2+3=7^y \end{matrix}\right.(x,y\geq 1;x,y\in \mathbb{N})\] Hoàn toàn tương tự khả năng trên, nhưng trường hợp này không cho nghiệm. Đáp số bài toán là : \[m=n=0\], \[p\geq 5\] là số nguyên tố tùy ý. \[m=12,n=4,p=7\]

Number Theory

Bài toán (Indian National Olympiad 2013)

Tìm tất cả các số tự nhiên $m, n$ và số nguyên tố $p \geq 5$ thỏa mãn :

$m (4 m^{2} + m + 12) = 3 (p^{n} - 1)$

Lời giải :

Ta đưa phương trình về dạng :

$(4 m + 1) (m^{2} + 3) = 3 p^{n}$

Nếu $n = 0$ thì $(4 m + 1) (m^{3} + 3) = 3$ , ta được $m = 0$ .

Nếu $n = 1$ thì $(4 m + 1) (m^{3} + 3) = 3 p$ . Dễ thấy loại trường hợp này.

Ta chỉ xét $n \geq 2$ , do $m = 0$ không thỏa nên ta cũng xét $m > 0$ .

Do $4 m + 1 > 3$ và $m^{3} + 3 > 3$ nên cả hai số này phải cùng chia hết cho $p$ . Ta có :

$p ∣ m (4 m + 1) - 4 (m^{2} + 3) \Rightarrow p ∣ m - 12 \Rightarrow p ∣ 4 m - 28 \Rightarrow p ∣ (4 m + 1) - 49 \Rightarrow p ∣ 49 \Rightarrow p = 7$

Ta được phương trình :

$(4 m + 1) (m^{2} + 3) = 3. 7^{n}$

Có hai khả năng xảy ra. Ta xét khả năng thứ nhất là :

${4 m + 1 = 7^{x} m^{2} + 3 = 3. 7^{y} (x, y \geq 1; x, y \in N)$

Khử $m$ từ hai phương trình :

$(\frac{7 ^{x} - 1}{4})^{2} + 3 = 3. 7^{y} \Leftrightarrow (7^{x} - 1)^{2} + 48 = 48. 7^{y} \Leftrightarrow 7^{2 x} - 2. 7^{x} + 49 = 48. 7^{y}$

Gỉa sử rằng $x, y > 2$ thì kéo theo :

$7^{x - 2} - 2. 7^{x - 2} + 1 = 48. 7^{y - 2}$

Đẳng thức này là không thể xảy ra.

Do vậy ta suy ra hoặc $x \leq 2$ hoặc $y \leq 2$ . Thử trực tiếp ta được $m = 12$ ứng với $x = y = 2$ .

Tiếp theo xét khả năng thứ hai :

${4 m + 1 = 3. 7^{x} m^{2} + 3 = 7^{y} (x, y \geq 1; x, y \in N)$

Hoàn toàn tương tự khả năng trên, nhưng trường hợp này không cho nghiệm.

Đáp số bài toán là :

$m = n = 0$ , $p \geq 5$ là số nguyên tố tùy ý.

$m = 12, n = 4, p = 7$