Geometry

Bài toán (IMO Shortlist 2008)

Trong tam giác nhọn $ABC$, kẻ hai đường cao $BE,CF$. Hai đường tròn qua $A,F$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ lần lượt tại $P,Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$. Chứng minh rằng : $PE,QF$ gặp nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

Lời giải :

Gọi $S$ là giao điểm của $PE,QF$. Ta đi chứng minh tứ giác $FASE$ nội tiếp.

Ta sẽ chứng minh $\Delta HDP\sim \Delta QDA$.

Thật vậy, dễ thấy $\Delta BAD\sim \Delta HCD\Rightarrow \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{HD}\Rightarrow AD.HD=CD.BD$.

Lại có $QD.DP=(QB+BD)(BP-BD)$. Mà $BQ=\sqrt{BF.BA}=BP$ nên $QD.DP=B{P}^2-B{D}^2=BF.BA-B{D}^2=BD.BC-B{D}^2=BD.DC$

Từ đó ta được :

$$QD.DP=AD.HD$$.

Từ đây ta suy ra $\Delta HDP\sim \Delta QDA$. Kéo theo : $\angle HPD=\angle QAD=\angle QAB+\angle BAD$

Thế nhưng lại có $\angle QAB=\angle FQB$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra :

$$\angle HPD=\angle FQB+\angle BAD$$

Lại thấy $B{P}^2=BF.BA=BH.BE\Rightarrow \Delta BPH\sim \Delta BEP\Rightarrow \angle EPB=\angle PHB$

Từ đó mà :

$\angle ESF$$=\pi -\angle FQB-\angle EPB$$=\pi -\left(\angle HPD-\angle BAD\right)-\angle PHB$$=\pi -\left(\angle HPD+\angle PHB\right)+\angle BAD$$=\pi -\left(\pi -\angle EBC\right)+\angle BAD$$=\angle EBC+\angle BAD$$=\left(90^0-\angle C\right)+\left(90^0-\angle B\right)$$=\angle A$$=\angle EAF$

Như vậy tứ giác $FASE$ nội tiếp, ta có điều phải chứng minh.