Sequence – Limit

Bài toán (Thi chọn HSG vòng 2 thành phố Đà Nẵng năm 2011-2012)

Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_{n+1}=\frac{x_n^3+3x_n}{3x_n^2+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Tìm công thức tính $x_n$ theo $x_1$ và $n$.

b) Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Lời giải :

a) Ta có :

$$x_{n+1}-1=\frac{x_n^3+3x_n}{3x_n^2+1}-1=\frac{(x_n-1{)}^3}{3x_n^2+1}$$

$$x_{n+1}+1=\frac{x_n^3+3x_n}{3x_n^2+1}+1=\frac{(x_n+1{)}^3}{3x_n^2+1}$$

Từ đó :

$\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}$$={\left(\frac{x_n-1}{x_n+1}\right)}^3$$={\left(\frac{x_{n-1}-1}{x_{n-1}+1}\right)}^{3^2}$$=...$$={\left(\frac{x_1-1}{x_1+1}\right)}^{3^n}$

Suy ra :

$x_n$$=\frac{1+{\left(\frac{x_1-1}{x_1+1}\right)}^{3^{n-1}}}{1-{\left(\frac{x_1-1}{x_1+1}\right)}^{3^{n-1}}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

b) Nhận thấy $\frac{x_1-1}{x_1+1}\ne 1$. Xét hai trường hợp :

Nếu $\left|\frac{x_1-1}{x_1+1}\right|<1$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x_1-1}{x_1+1}\right)}^{3^{n-1}}=0\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$

Nếu $\left|\frac{x_1-1}{x_1+1}\right|>1$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x_1-1}{x_1+1}\right)}^{3^{n-1}}=+\infty \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-1$

Trong cả hai trường hợp thì $(x_n)$ đều có giới hạn hữu hạn.