Number Theory

Bài toán (Indian National Olympiad 2008)

Tìm bộ ba $(p,x,y)$ thỏa mãn phương trình :

$$p^x=y^4+4$$

Trong đó $p$ là số nguyên tố và $x,y$ là các số tự nhiên.

Lời giải :

Xét $x=0$ không thỏa mãn. Ta chỉ xét $x\ge 1$.

Phương trình trên dẫn đến hệ sau :

$$\{\begin{array}{c}{y}^2-2y+2=p^m\\ y^2+2y+2=p^n\end{array}(m,n\in \mathbb{N},m<n,m+n=x\ge 1)$$

Nếu $m=0$ thì được $y=1$, từ đó tìm được $p=5,x=1$.

Nếu $n=0$ thì $y=-1$, mâu thuẫn điều kiện $y$ tự nhiên.

Do đó ta chỉ xét $m,n\ge 1$. Từ hệ trên ta suy ra :

$$p\mid (y^2+2y+2)-(y^2-2y+2)=4y$$.

Nếu $p\mid 4$ thì $p=2$. Nếu $p\mid y$ thì do $p\mid y^2-2y+2$ nên $p\mid 2$. Tóm lại ta được $p=2$.

Thay vào phương trình ban đầu, ta được :

$$y^4+4=2^x$$

Nếu $x=2$ thì $y=0$. Xét $x\ge 3$. Ta được :

$$v_2(y^4)=v_2(2^x-4)=v_2(4(2^{x-2}-1))=2$$.

Đây là điều mâu thuẫn vì $v_2(y^4)\ge 4$. Đáp số của bài toán là $(p,x,y)=(5,1,1),(2,2,0)$