Number Theory

Bài toán (Japan Mathematical Olympiad Finals 2009)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $8^n+n$ chia hết cho $2^n+n$.

Lời giải :

Ta có $2^n+n\mid 8^n+n^3$, lại theo đề bài thì $2^n+n\mid 8^n+n$. Dẫn đến :

$$2^n+n\mid n^3-n$$

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng nếu $n\ge 10$ thì :

$$2^n>n^3(\ast )$$

Gỉa sử có $(\ast )$. Ta cần chứng minh $2^{n+1}>(n+1{)}^3$. Do có $(\ast )$ nên ta chỉ cần chứng minh :

$$2n^3>(n+1{)}^3\iff n^3>3n^2+3n+1\iff n^2(n-9)+n(n^2-9)+(n^3-3)>0$$

Và vì $n\ge 10$ nên điều này luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta có :

$$2^n>n^3,\forall n\in \mathbb{N},n\ge 10$$

Kéo theo $2^n+n>n^3-n$. Thế nhưng lại có $2^n+n\mid n^3-n\Rightarrow n^3-n\ge 2^n+n$. Hai điều này mâu thuẫn nhau.

Từ đó ta có $n\le 9$. Thử trực tiếp ta được đáp số của bài toán là :

$$n\in \left\{1,2,4,6\right\}$$