Number Theory

Bài toán (Finland Finish National High School Mathematics Competition 2013)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(m,p,q)$ thỏa mãn :

$$2^m.p^2+1=q^5$$

Trong đó $m>0$ và $p,q$ là hai số nguyên tố.

Lời giải :

Nếu $p=2$ thì :

$$2^{m+1}+1=q^5\iff (q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)=2^{m+1}$$

Vì $q$ lẻ nên $q^4+q^3+q^2+q+1$ lẻ, suy ra $2^{m+1}$ có ước lẻ, vô lí.

Xét $p$ lẻ. Ta viết phương trình dưới dạng :

$$(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)=2^m.p^2$$

Do $q^4+q^3+q^2+q+1$ lẻ nên $q^4+q^3+q^2+q+1=p$ hoặc $q^4+q^3+q^2+q+1=p^2$.

Nhưng rõ ràng không thể xảy ra trường hợp $q^4+q^3+q^2+q+1=p$ vì khi ấy thì $q-1=2^m.p$. Do $2^m.p>p$ nên $q-1>q^4+q^3+q^2+q+1$ và đây là điều mâu thuẫn.

Như vậy chỉ có thể là :

$$q^4+q^3+q^2+q+1=p^2$$

Ta có thể dễ dàng lập luận được rằng :

$$(2q^2+q{)}^2<4p^2<(2q^2+q+2{)}^2$$

Từ đó suy ra $4p^2=(2q^2+q+1{)}^2$

Ta được phương trình :

$$4(q^4+q^3+q^2+q+1)=(2q^2+q+1{)}^2\iff q^2-2q-3=0\Rightarrow q=3$$

Từ đó tìm được $p=11,m=1$.

Đáp số bài toán là :

$$m=1,p=11,q=3$$