Inequality

Bài toán (Turkey National Olympiad Second Round 2008)

Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2{b}^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2{c}^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2{a}^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}$$\ge \frac{3}{ab+bc+ca}$

Lời giải :

Đổi biến $\left(a,b,c\right)\to \left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)$ thì ta có $xy+yz+zx=xyz$.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

$$\frac{x^3}{y^2-yz+z^2}+\frac{y^3}{z^2-zx+x^2}+\frac{z^3}{x^2-xy+y^2}\ge \frac{3xyz}{x+y+z}$$

Ta chứng minh kết quả mạnh hơn như sau :

$$\frac{x^3}{y^2-yz+z^2}+\frac{y^3}{z^2-zx+x^2}+\frac{z^3}{x^2-xy+y^2}\ge x+y+z$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta chỉ cần chứng minh :

$\frac{(x^2+y^2+z^2{)}^2}{\sum _{sym}x(y^2-yz+z^2)}$$\ge x+y+z$$\iff x^4+y^4+z^4+2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)$$\ge (x+y+z)\sum _{sym}(x{y}^2-xyz+x{z}^2)$$=(x+y+z)\left(\sum _{sym}xy(x+y)-3xyz\right)$$\iff x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)$$\ge x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)$

Điều này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur. Ta có điều phải chứng minh.