Inequality

Bài toán (Macedonia National Olympiad 2009)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge \frac{1}{a+b+c}$$

Lời giải :

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được :

$\left(\sum _{sym}\frac{a}{a^2-bc+1}\right)\left(\sum _{sym}a(a^2-bc+1)\right)$$\ge {\left(a+b+c\right)}^2$

Kết quả này tương đương :

$$\sum _{sym}\frac{a}{a^2-bc+1}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a^3+b^3+c^3+a+b+c-3abc}$$

Do vậy việc chứng minh kết thúc nếu ta chỉ ra được :

$$\frac{(a+b+c{)}^2}{a^3+b^3+c^3+a+b+c-3abc}\ge \frac{1}{(a+b+c)}$$

Thế nhưng đây đơn giản chỉ là một đẳng thức, thật vậy :

$\frac{(a+b+c{)}^2}{a^3+b^3+c^3+a+b+c-3abc}$$=\frac{1}{(a+b+c)}$$\iff (a+b+c{)}^3$$=a^3+b^3+c^3-3abc+a+b+c$$\iff 3(a+b)(b+c)(c+a)$$=-3abc+a+b+c$$\iff 3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$$=-3abc+a+b+c$$\iff 3(ab+bc+ca)$$=1$

Đây chính là giả thiết bài toán. Tóm lại ta có điều phải chứng minh.