Inequality

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2013)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn :

$$a+b+c=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$

Chứng minh rằng :

$$2(a+b+c)\ge \sqrt[3]{7a^{2}b+1}+\sqrt[3]{7b^{2}c+1}+\sqrt[3]{7c^{2}a+1}$$

Tìm tất cả các bộ ba $(a,b,c)$ để đẳng thức xảy ra.

Lời giải :

Áp dụng BĐT Holder, ta được :

$V{P}^3$$\le \left(\frac{7a^{2}b+1}{a^2}+\frac{7b^{2}c+1}{b^2}+\frac{7c^{2}a+1}{c^2}\right)\left(a+b+c\right)(a+b+c)$$=(a+b+c{)}^2\left(7a+7b+7c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$$=8(a+b+c{)}^3$

Từ đây có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

$\frac{7a^{2}b+1}{a^2}:a:a$$=\frac{7b^{2}c+1}{b^2}:b:b$$=\frac{7c^{2}a+1}{c^2}:c:c$$\Rightarrow \frac{7a^{2}b+1}{a^3}$$=\frac{7b^{2}c+1}{b^3}$$=\frac{7c^{2}a+1}{c^3}$

Từ đó mà :

$\frac{\sqrt[3]{7a^{2}b+1}}{a}$$=\frac{\sqrt[3]{7b^{2}c+1}}{b}$$=\frac{\sqrt[3]{7c^{2}a+1}}{a}$$=\frac{\sqrt[3]{7a^{2}b+1}+\sqrt[3]{7b^{2}c+1}+\sqrt[3]{7c^{2}a+1}}{a+b+c}$$=2$

Dẫn đến hệ hoán vị vòng quanh :

$$\{\begin{array}{c}7a^{2}b+1=8a^3\\ 7b^{2}c+1=8b^3\\ 7c^{2}a+1=8c^3\end{array}$$

Chú ý rằng hàm số $f(x)=\frac{8x^3-1}{7x^2}$ là hàm đồng biến trên tập số dương. Từ đó $a=b=c=1$ là nghiệm duy nhất của hệ, cũng là dấu bằng duy nhất của bài toán.