Bài toán (Switzerland Final Round 2010) Cho các số tự nhiên $m,n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một số nguyên tố và chia hết $2(m^2+n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$. Lời giải : Gỉa sử phản chứng $m\neq n$ Ta có : \[m+n+1\mid 2(m^2+n^2)-1\] \[\Rightarrow m+n+1\mid 2\left [ (m+n)^2-2mn \right ]+1\] \[\Rightarrow m+n+1\mid 2\left [ (m+n)^2-1 \right ]+1-4mn\] \[\Rightarrow m+n+1\mid 1-4mn\] \[\Rightarrow m+n+1\mid 1-(m+n)^2+(m-n)^2\] \[\Rightarrow m+n+1\mid (m-n)^2\] Hơn nữa vì $m+n+1$ nguyên tố nên \[(m+n+1)^2 \mid (m-n)^2\Rightarrow (m-n)^2\geq (m+n+1)^2\] Đây là điều hoàn toàn vô lí. Ta được điều phải chứng minh

Number Theory

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (Switzerland Final Round 2010)

Cho các số tự nhiên $m, n$ thỏa mãn $m + n + 1$ là một số nguyên tố và chia hết $2 (m^{2} + n^{2}) - 1$ . Chứng minh rằng $m = n$ .

Lời giải :

Gỉa sử phản chứng $m \neq = n$

Ta có :

$m + n + 1 ∣ 2 (m^{2} + n^{2}) - 1$

$\Rightarrow m + n + 1 ∣ 2 [(m + n)^{2} - 2 mn] + 1$

$\Rightarrow m + n + 1 ∣ 2 [(m + n)^{2} - 1] + 1 - 4 mn$

$\Rightarrow m + n + 1 ∣ 1 - 4 mn$

$\Rightarrow m + n + 1 ∣ 1 - (m + n)^{2} + (m - n)^{2}$

$\Rightarrow m + n + 1 ∣ (m - n)^{2}$

Hơn nữa vì $m + n + 1$ nguyên tố nên

$(m + n + 1)^{2} ∣ (m - n)^{2} \Rightarrow (m - n)^{2} \geq (m + n + 1)^{2}$

Đây là điều hoàn toàn vô lí. Ta được điều phải chứng minh

Mô tả

Bài toán (Switzerland Final Round 2010) Cho các số tự nhiên thỏa mãn là một số nguyên tố và chia hết . Chứng minh rằng . Lời giải : Gỉa sử phản chứng Ta có : Hơn nữa vì nguyên tố nên Đây là điều hoàn toàn vô lí. Ta được điều phải chứng minh

Số họcChia hết - Đồng dư

Nguồn: julielltv