Number Theory

Bài toán (Japan Mathematical Olympiad Finals 2014)

Tìm tất cả các bộ ba $(a,b,c)$ với $a,b,c$ nguyên dương và thỏa mãn :

$$2^a+3^b+1=6^c$$

Lời giải :

Xét $a=1$ được $3^b+3=6^c$. Nếu $b=1$ thì $c=1$. Nếu $b>1$ thì $v_3(6^c)=v_3(3^b+3)=v_3(3(3^{b-1}+1))=1\Rightarrow c=1$. Suy ra $b=1$, mâu thuẫn. Ta được bộ $(1,1,1)$.

Xét $a=2$ được $3^b+5=6^c\equiv 0(mod3)$, mâu thuẫn.

Xét $a\ge 3$ thì :

$$6^c=2^a+3^b+1\equiv 2,4(mod8)\Rightarrow c\in \left\{1,2\right\}$$.

Nếu $c=1$ thì $2^a+3^b=5$, vô lí vì $a\ge 3$.

Nếu $c=2$ thì $2^a+3^b=35$, thu được $a=b=3$.

Đáp số của bài toán là $(a,b,c)=(1,1,1),(3,3,2)$