Number Theory

Bài toán (Turkey National Olympiad Second Round 2013)

Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn :

$$2^n+n=m!$$

Lời giải :

Xét $m\le 6$. Do $2^n+n\ge 3$ nên $m\ge 3$. Như vậy ta xét $m\in \left\{3,4,5,6\right\}$. Thử từng trường hợp ta được cặp $(m,n)=(3,2)$.

Ta chỉ xét $m>6$. Đặt $n=2^k.t(k\in \mathbb{N},t\in {\mathbb{Z}}^{+},2\nmid t)$. Dễ thấy $n>k$.

Ta có :

$$m!=2^n+n=2^n+2^k.t=2^k(2^{n-k}+t)$$

Suy ra :

$$k=v_2(2^k.(2^{n-k}+t))=v_2(m!)$$

Lại theo định lí Legendre ta được :

$k$$=v_2(m!)$$=\underset{i=1}{\sum ^{+\infty }}\lfloor \frac{m}{2^i}\rfloor$$\ge \lfloor \frac{m}{2}\rfloor$

Mặt khác ta cũng dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp rằng với $m>6$ thì :

$$2^{\lfloor m/2\rfloor }\ge m$$ và $$2^{m^2}>m!$$

Nếu mà $m\ge t$ thì $t\mid m!=2^n+n=2^n+2^k.t\Rightarrow t\mid 2^n$, mâu thuẫn vì $t$ lẻ,

Do đó phải có $t>m$. Từ đó dẫn đến :

$$n=2^k.t\ge 2^{\lfloor m/2\rfloor }.m>m^2\Rightarrow 2^n>2^{m^2}>m!$$

Phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Đáp số duy nhất của bài toán là $(m,n)=(3,2)$