Inequality

Bài toán (Bosnia Herzegovina Regional Olympiad 2008)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}\ge 3(ab+bc+ca)-2$$

Lời giải :

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$\frac{a^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5}{ca(c+a)}$$=\frac{a^4}{b(a+b)}+\frac{b^4}{c(b+c)}+\frac{c^4}{a(c+a)}$$\ge \frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$$=\frac{1}{ab+bc+ca+1}$

Hoàn toàn tương tự ta được :

$$\frac{b^5}{ab(a+b)}+\frac{c^5}{bc(b+c)}+\frac{a^5}{ca(c+a)}\ge \frac{1}{ab+bc+ca+1}$$

Cộng vế theo vế hai BĐT trên thì :

$$VT\ge \frac{2}{ab+bc+ca+1}$$

Cần chứng minh :

$\frac{2}{ab+bc+ca+1}$$\ge 3(ab+bc+ca)-2$$\iff \frac{2}{t+1}$$\ge 3t-2(t$$=ab+bc+ca)$$\iff 3t^2+t-4$$\le 0$

Điều này luôn đúng vì :

$$0\le t\le a^2+b^2+c^2=1$$

Ta được điều phải chứng minh.