Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên và $f(a)+f(b)+f(c)$ chia hết cho $a+b+c$ với mọi số nguyên $a,b,c$.

Lời giải :

Ta có :

$$a+b+c\mid f(a)-f(-b-c)$$

Theo đề bài :

$$a+b+c\mid f(a)+f(b)+f(c)$$

Kéo theo :

$$a+b+c\mid f(b)+f(c)+f(-b-c)(1)$$

Cố định $b,c$, chọn $a$ đủ lớn sao cho $a+b+c>f(b)+f(c)+f(-b-c)$, khi đó $(1)$ không được thỏa mãn. Hiển nhiên tồn tại vô số số nguyên $a$ như vậy. Do đó phải có :

$$f(b)+f(c)+f(-b-c)=0,\forall b,c\in \mathbb{Z}$$

Chọn $b=c$ thì được :

$$2f(b)+f(-2b)=0,\forall b\in \mathbb{Z}$$

Gỉa sử $f(x)=\underset{i=0}{\sum ^n}{a}_i{x}^i$ với $a_n\ne 0$. Đồng nhất hệ số của $x^n$ :

$$2a_n{x}^n+a_n.(-2x_n{)}^n=0\iff 2+(-2{)}^n=0\iff n=1$$

Ta được $f(x)=mx+n,\left(m,n\in \mathbb{Z}\right)$.

Trở lại với giả thiết :

$a+b+c\mid m(a+b+c)+3n,\forall a,b,c\in \mathbb{Z}$$\iff a+b+c\mid 3n,\forall a,b,c\in \mathbb{Z}$$\iff n$$=0$

Đáp số bài toán là $f(x)=mx,\forall x\in \mathbb{R},m\in \mathbb{Z}$