Sequence – Limit

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2011)

Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :

$$x_1=1$$ và $$x_n=\frac{2n}{(n-1{)}^2}\underset{i=1}{\sum ^{n-1}}{x}_i$$ $$\forall n\ge 2$$

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $y_n=x_{n+1}-x_n$. Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Lời giải :

Ta có :

$$x_1+x_2+...+x_{n-1}=\frac{(n-1{)}^2}{2n}{x}_n$$

$$x_1+x_2+...+x_n=\frac{n^2}{2(n+1)}{x}_{n+1}$$

Từ đó mà :

$x_n$$=\frac{n^2}{2(n+1)}{x}_{n+1}-\frac{(n-1{)}^2}{2n}{x}_n$$\Rightarrow x_{n+1}$$=\frac{(n^2+1)(n+1)}{n^3}{x}_n$

Như vậy thì :

$$y_n=x_{n+1}-x_n=\frac{n^2+n+1}{n^3}{x}_n$$

Ta có :

$y_{n+1}-y_n$$=\frac{(n+1{)}^2+(n+1)+1}{(n+1{)}^3}{x}_{n+1}-\frac{n^2+n+1}{n^3}{x}_n$$=\left(\frac{n^2+3n+3}{(n+1{)}^3}.\frac{(n+1)(n^2+1)}{n^3}-\frac{n^2+n+1}{n^3}\right)x_n$$=\frac{2x_n}{n^3(n+1{)}^2}$$>0$

Từ đó $(y_n)$ là dãy tăng. Bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được $(y_n)$ bị chặn trên. Thật vậy, ta có :

$x_{n+1}$$=\frac{(n^2+1)(n+1)}{n^3}{x}_n$$=\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)x_n$$=\frac{1-1/n^4}{1-1/n}.x_n$$<\frac{1}{1-1/n}.x_n$$=\frac{n}{n-1}.x_n$

Từ đó :

$$x_n<\frac{n-1}{n}{x}_{n-1}<...<\frac{n-1}{n}.\frac{n-2}{n-1}...\frac{2}{1}.x_2=4(n-1)$$

Kéo theo :

$$y_n=\frac{n^2+n+1}{n^3}.x_n<\frac{4(n-1)(n^2+n+1)}{n^3}=\frac{4(n^3-1)}{n^3}<4$$

Như vậy $(y_n)$ bị chặn trên bởi $4$. Bài toán hoàn toàn được giải quyết.