Bài toán : Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau : \[a_n=n+a\sqrt{n^2+1},\;\forall n\in \mathbb{N}^*\] Trong đó $a$ là tham số thực. a) Tìm $a$ sao cho dãy số đã cho hội tụ. b) Tìm $a$ sao cho $(a_n)$ là một dãy tăng kể từ số hạng nào đó. Lời giải : a) Ta xét dãy số $(b_n)$ như sau : \[b_n=n-\sqrt{n^2+1}\] Khi đó dễ thấy $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}b_n=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left ( n-\sqrt{n^2+1} \right )=\underset{n\rightarrow +\infty }\lim\dfrac{-1}{n+\sqrt{n^2+1}}=0$. Tức là $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn. Để ý rằng ta có : \[a_n=n-\sqrt{n^2+1}+(a+1)\sqrt{n^2+1}=b_n+(a+1)\sqrt{n^2+1}\] Do $(b_n)$ hội tụ nên để $(a_n)$ hội tụ thì dãy $\left \{ (a+1)\sqrt{n^2+1} \right \}$ cũng phải hội tụ. Rõ ràng nếu $a+1<0$ thì $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left [ (a+1)\sqrt{n^2+1} \right ]=-\infty$ và $a+1>0$ thì $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left [ (a+1)\sqrt{n^2+1} \right ]=+\infty$. Từ đó suy ra ngay $a=-1$ là giá trị duy nhất để $(a_n)$ hội tụ. b) Dãy $(a_n)$ tăng kể từ một số hạng nào đó nếu tồn tại một số nguyên dương $n_0$ mà với mọi $n\geq n_0$ thì : \[x_{n+1}\geq x_n\Leftrightarrow (n+1)+a\sqrt{(n+1)^2+1}\geq n+a\sqrt{n^2+1}\Leftrightarrow a\left ( \sqrt{(n+1)^2+1}-\sqrt{n^2+1} \right )\geq -1\] \[\Leftrightarrow \dfrac{a\left [ (n+1)^2+1-n^2-1 \right ]}{\sqrt{(n+1)^2+1}+\sqrt{n^2+1}}\geq -1\Leftrightarrow \dfrac{a(2n+1)}{\sqrt{(n+1)^2+1}+\sqrt{n^2+1}}\geq -1\] \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{a(2n+1)}{\sqrt{(n+1)^2+1}+\sqrt{n^2+1}}\geq -1\Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{a\left ( 2+\dfrac{1}{n} \right )}{\sqrt{\left ( 1+\dfrac{1}{n} \right )^2+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}\geq -1\Leftrightarrow \dfrac{2a}{2}\geq -1\Leftrightarrow a\geq -1\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(a_{n})$ xác định như sau :

$a_{n} = n + a n^{2} + 1, \forall n \in N^{*}$

Trong đó $a$ là tham số thực.

a) Tìm $a$ sao cho dãy số đã cho hội tụ.

b) Tìm $a$ sao cho $(a_{n})$ là một dãy tăng kể từ số hạng nào đó.

Lời giải :

a) Ta xét dãy số $(b_{n})$ như sau :

$b_{n} = n - n^{2} + 1$

Khi đó dễ thấy $n \to + \infty lim b_{n} = n \to + \infty lim (n - n^{2} + 1) = n \to + \infty lim \frac{- 1}{n + n ^{2} + 1} = 0$ .

Tức là $(b_{n})$ có giới hạn hữu hạn. Để ý rằng ta có :

$a_{n} = n - n^{2} + 1 + (a + 1) n^{2} + 1 = b_{n} + (a + 1) n^{2} + 1$

Do $(b_{n})$ hội tụ nên để $(a_{n})$ hội tụ thì dãy ${(a + 1) n^{2} + 1}$ cũng phải hội tụ. Rõ ràng nếu $a + 1 < 0$ thì $n \to + \infty lim [(a + 1) n^{2} + 1] = - \infty$ và $a + 1 > 0$ thì $n \to + \infty lim [(a + 1) n^{2} + 1] = + \infty$ .

Từ đó suy ra ngay $a = - 1$ là giá trị duy nhất để $(a_{n})$ hội tụ.

b) Dãy $(a_{n})$ tăng kể từ một số hạng nào đó nếu tồn tại một số nguyên dương $n_{0}$ mà với mọi $n \geq n_{0}$ thì :

$x_{n + 1} \geq x_{n} \Leftrightarrow (n + 1) + a (n + 1)^{2} + 1 \geq n + a n^{2} + 1 \Leftrightarrow a ((n + 1)^{2} + 1 - n^{2} + 1) \geq - 1$

$\Leftrightarrow \frac{a [ ( n + 1 ) ^{2} + 1 - n ^{2} - 1 ]}{( n + 1 ) ^{2} + 1 + n ^{2} + 1} \geq - 1 \Leftrightarrow \frac{a ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2} + 1 + n ^{2} + 1} \geq - 1$

$n \to + \infty lim \frac{a ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2} + 1 + n ^{2} + 1} \geq - 1 \Leftrightarrow n \to + \infty lim \frac{a ( 2 + \frac{1}{n} )}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{2} + \frac{1}{n ^{2}} + 1 + \frac{1}{n ^{2}}} \geq - 1 \Leftrightarrow \frac{2 a}{2} \geq - 1 \Leftrightarrow a \geq - 1$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả