Sequence – Limit

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Ninh năm 2013-2014)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ không có giới hạn hữu hạn.

Lời giải :

Gỉa sử $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn là $L$, chuyển qua giới hạn :

$$L=\frac{2}{L}+\frac{\sqrt{3}}{L^2}\iff L=\sqrt{3}$$

Khi đó dãy $(x_{2n+1})$ cũng sẽ có giới hạn là $\sqrt{3}$  $(\ast )$

Ta có :

$x_{n+2}$$=\frac{2}{x_{n+1}}+\frac{\sqrt{3}}{x_{n+1}^2}$$=\frac{2}{\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2}}+\frac{\sqrt{3}}{{\left(\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2}\right)}^2}$$=\frac{x_n^2(4x_n+2\sqrt{3}+\sqrt{3}{x}_n^2)}{(2x_n+\sqrt{3}{)}^2}$

Do đó mà :

$x_{n+2}-x_n$$=\frac{x_n^2(4x_n+2\sqrt{3}+\sqrt{3}{x}_n^2)}{(2x_n+\sqrt{3}{)}^2}-x_n$$=\frac{x_n(x_n-\sqrt{3})(\sqrt{3}{x}_n^2+3x_n+\sqrt{3})}{(2x_n+\sqrt{3}{)}^2}$

Nhận thấy $x_1=1<\sqrt{3}$ nên từ trên ta có $x_3<x_1$. Quy nạp ta được dãy $(x_{2n+1})$ là dãy giảm.

Lại thấy

$$\sqrt{3}>1=x_1>x_3>....>x_{2n+1}>..$$

Điều này mâu thuẫn với $(\ast )$. Như vậy ta có điều phải chứng minh.