Bài toán (Chọn đội tuyển VMO Thành phố Hồ Chí Minh 2013-2014) Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} x_1=a> 1\\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n,\;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.\] Tìm : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left ( \dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_3-1}+...+\dfrac{x_n}{x_{n+1}-1} \right )\] Lời giải : Ta có : \[2014(x_{n+1}-x_n)=x_n(x_n-1)\Rightarrow 2014(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}-1)=x_n(x_n-1)(x_{n+1}-1)\Rightarrow \dfrac{2014(x_{n+1}-x_n)}{(x_{n+1}-1)(x_n-1)}=\dfrac{x_n}{x_{n+1}-1}\Rightarrow \dfrac{x_n}{x_{n+1}-1}=2014\left ( \dfrac{1}{x_{n}-1}-\dfrac{1}{x_{n+1}-1} \right )\] Từ đó mà : \[\underset{i=0}{{\overset{n}{\sum}} }\dfrac{x_i}{x_{i+1}-1}=2014\left ( \dfrac{1}{x_1-1}-\dfrac{1}{x_{n+1}-1} \right )\] Hơn nữa ta chứng minh được bằng quy nạp $x_n>1$. Do đó mà : \[x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+2013x_n}{2014}> \dfrac{x_n+2013x_n}{2014}=x_n\] Tức dãy $(x_n)$ tăng. Nếu nó có giới hạn hữu hạn là $l$ thì chuyển qua giới hạn : \[2014l=l^2+2013l\Leftrightarrow l\in \left \{ 0,1 \right \}\] Vô lí. Do đó ta được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=+\infty$. Ta kết luận được : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left ( \dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_3-1}+...+\dfrac{x_n}{x_{n+1}-1} \right )=\dfrac{2014}{a-1}\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO Thành phố Hồ Chí Minh 2013-2014)

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn :

${x_{1} = a > 1 2014 x_{n + 1} = x_{n}^{2} + 2013 x_{n}, \forall n \geq 1$

Tìm :

$n \to + \infty lim (\frac{x _{1}}{x _{2} - 1} + \frac{x _{2}}{x _{3} - 1} + ... + \frac{x _{n}}{x _{n + 1} - 1})$

Lời giải :

Ta có :

$2014 (x_{n + 1} - x_{n}) = x_{n} (x_{n} - 1) \Rightarrow 2014 (x_{n + 1} - x_{n}) (x_{n + 1} - 1) = x_{n} (x_{n} - 1) (x_{n + 1} - 1) \Rightarrow \frac{2014 ( x _{n + 1} - x _{n} )}{( x _{n + 1} - 1 ) ( x _{n} - 1 )} = \frac{x _{n}}{x _{n + 1} - 1} \Rightarrow \frac{x _{n}}{x _{n + 1} - 1} = 2014 (\frac{1}{x _{n} - 1} - \frac{1}{x _{n + 1} - 1})$

Từ đó mà :

$i = 0 \sum n \frac{x _{i}}{x _{i + 1} - 1} = 2014 (\frac{1}{x _{1} - 1} - \frac{1}{x _{n + 1} - 1})$

Hơn nữa ta chứng minh được bằng quy nạp $x_{n} > 1$ . Do đó mà :

$x_{n + 1} = \frac{x _{n}^{2} + 2013 x _{n}}{2014} > \frac{x _{n} + 2013 x _{n}}{2014} = x_{n}$

Tức dãy $(x_{n})$ tăng. Nếu nó có giới hạn hữu hạn là $l$ thì chuyển qua giới hạn :

$2014 l = l^{2} + 2013 l \Leftrightarrow l \in {0, 1}$

Vô lí. Do đó ta được $n \to + \infty lim x_{n} = + \infty$ . Ta kết luận được :

$n \to + \infty lim (\frac{x _{1}}{x _{2} - 1} + \frac{x _{2}}{x _{3} - 1} + ... + \frac{x _{n}}{x _{n + 1} - 1}) = \frac{2014}{a - 1}$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả