Sequence – Limit

Bài toán : Gỉa sử rằng :

$S_n$$=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left(\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\right)$

Chứng minh rằng tồn tại $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ và tính giới hạn này.

Lời giải :

Ta biến đổi như sau :

$S_n$$=\frac{n+1}{2^{n+1}}.\frac{2^n}{n}.\frac{n}{2^n}\left(\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+..+\frac{2^{n-1}}{n-1}\right)+\frac{2^n}{n}.\frac{n+1}{2^{n+1}}$$=\frac{n+1}{2n}(S_{n-1}+1)$

Ta xét :

$$S_n-S_{n-1}=\frac{n+1}{2n}(S_{n-1}+1)-S_{n-1}=\frac{n+1-(n-1)S_{n-1}}{2n}(\ast )$$

Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp :

$$S_{n-1}\ge \frac{n-1}{n+1}$$

Từ đó từ $(\ast )$ ta suy ra $S_n<S_{n-1}$ hay $(S_n)$ là dãy giảm. Hiển nhiên nó bị chặn dưới bởi $0$ nên tồn tại giới hạn hữu hạn $l$ của nó. Chuyển qua giới hạn :

$$l=\frac{1}{2}(l+1)\iff l=1$$

Như vậy ta kết luận được :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=1$$