Sequence – Limit

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 năm 2011)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{4}\\ x_n=\frac{x_1+4x_2+9x_3+...+(n-1{)}^2{x}_{n-1}}{n^2(n-1)},\forall n\ge 2\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(30n^2-4n+2011\right)x_n$

Lời giải :

Ta có :

$$x_1+4x_2+...+(n-1{)}^2{x}_{n-1}=n^2(n-1)x_n$$

$$x_1+4x_2+...+n^2{x}_n=(n+1{)}^{2}n.x_{n+1}$$

Suy ra :

$$n^2{x}_n=(n+1{)}^{2}n{x}_{n+1}-n^2(n-1)x_n\Rightarrow x_{n+1}=\frac{n^2}{(n+1{)}^2}{x}_n$$

Ta được :

$x_n$$=\frac{(n-1{)}^2}{n^2}{x}_{n-1}$$=\frac{(n-1{)}^2}{n^2}.\frac{(n-2{)}^2}{(n-1{)}^2}{x}_{n-2}$$=...$$=\frac{(n-1{)}^2.(n-2{)}^2...1}{n^2.(n-1{)}^2...2}{x}_1$$=\frac{1}{4n^2}$

Từ đó mà :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(30n^2-4n+2011\right)x_n$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(30-\frac{4}{n}+\frac{2011}{n^2}\right)$$=30$