Geometry

Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Nam 2013-2014)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường tròn nội tiếp $(I)$ và ngoại tiếp $(O)$. $M$ là trung điểm của đường cao $AH$. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Đường thẳng $MD$ cắt $BC$ ở $N$. Đường thẳng $NR,NS$ tiếp xúc với $(O)$ tại $R,S$. 

a) Gọi $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $M,D,J$ thẳng hàng.

b) Chứng minh bốn điểm $P,D,R,S$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải :

a) Trong tam giác $ABH$ ta có :

$$AM=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}.AB.sinB$$

Theo định lí sin trong tam giác $ABJ$ :

$\frac{AJ}{sin\angle ABJ}$$=\frac{BJ}{sin\angle BAJ}$$\Rightarrow AJ$$=\frac{BJ.sin\left(\frac{\pi }{2}+\frac{B}{2}\right)}{sin\frac{A}{2}}$$=\frac{BJ.cos\frac{B}{2}}{sin\frac{A}{2}}$

Trong tam giác $BDI$ ta có :

$$ID=BI.sin\frac{B}{2}$$

Trong tam giác vuông $BIJ$ và chú ý tính nội tiếp của tứ giác $BICJ$ :

$$IJ=\frac{BI}{sin\angle BJI}=\frac{BI}{sin\angle ICB}=\frac{BI}{sin\frac{C}{2}}$$

Ta có :

$\frac{AM}{AJ}$$=\frac{ID}{IJ}(\ast )$$\iff AM.IJ$$=AJ.ID$$\iff \frac{1}{2}AB.sinB.\frac{BI}{sin\frac{C}{2}}$$=\frac{BJ.cos\frac{B}{2}}{sin\frac{A}{2}}.BI.sin\frac{B}{2}$$\iff \frac{AB}{BJ}$$=\frac{sinC/2}{sinA/2}$

Điều này luôn đúng theo định lí sin trong tam giác $ABJ$. Như vậy ta có hệ thức $(\ast )$.

Kết hợp với :

$$\angle MAJ=\angle DIJ$$

Vì là hai góc đồng vị và do $AM\parallel ID$.

Kéo theo :

$$\Delta MAJ\sim \Delta DIJ\Rightarrow \angle IJD=\angle AJM$$

Chứng tỏ $D,M,J$ thẳng hàng. Ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $IN$ và $PD$ theo giả thiết thì $IK\perp PD$. Ta có bốn điểm $B,I,C,J$ đồng viên và $K,I,C,J$ đồng viên kéo theo bốn điểm $K,I,C,B$ đồng viên. Từ đó :

$$NK.NI=NB.NC$$

Tam giác $NDI$ vuông tại $D$ và có đường cao $DK$ nên :

$$N{D}^2=NK.NI$$

Do tính đối xứng mà ta có $ND=NP$ và theo tính chất tiếp tuyến thì $NR=NS$.

Từ đó kéo theo :

$$NR=NS=NP=ND$$

Do vậy bốn điểm $P,D,R,S$ cùng thuộc đường tròn tâm $N$ bán kính $NR$.