Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Long An tỉnh Long An)

 Cho dãy số $(x_n)$ với :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{2011}{2010}\\ x_{n+1}=x_n^2-2x_n+\frac{2n+4999}{n+2499}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Ta có :

$$x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2+\frac{1}{n+2499}=(x_n-1{)}^2+1+\frac{1}{n+2499}>1$$

Ta chứng minh dãy $(x_n)$ giảm bằng quy nạp. Ta tính được $x_1>x_2$. Gỉa sử rằng $x_{n-1}>x_n$. Thì :

$x_{n+1}-x_n$$=(x_n^2-x_{n-1}^2)-2(x_n-x_{n-1})+\frac{2n+4999}{n+2499}-\frac{2n+4997}{n+2498}$$=(x_n-x_{n-1})(x_n+x_{n-1}-2)+\left(\frac{1}{n+2499}-\frac{1}{n+2498}\right)$$<0$

Theo nguyên lí quy nạp ta có dãy $(x_n)$ giảm, hơn nữa nó cũng bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn $L$. Chuyển qua giới hạn :

$$L=L^2-2L+2\iff L\in \left\{1,2\right\}$$

Mặt khác lại có :

$$2>x_1>x_2>...>x_n$$

Nên ta kết luận :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$$