Number Theory

Bài toán : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

$$2^x=3^y+5$$.

Lời giải :

Xét $y\le 3$, ta được cặp $(x,y)=(3,1),(5,3)$. Xét $y>3$, kéo theo $x>5$. Ta sẽ chứng minh trong trường hợp này phương trình không còn nghiệm nguyên dương nào nữa.

Viết phương trình dưới dạng :

$$2^5(2^{x-5}-1)=3^3(3^{y-3}-1)$$

Ta có :

$$2^{x-5}\equiv 1(mod{3}^3)\Rightarrow 18=or{d}_{27}(2)\mid x-5$$

Lúc này :

$$19\mid 2^{18}-1\mid 2^{x-5}-1$$

Do vậy mà :

$$3^{y-3}\equiv 1(mod19)\Rightarrow 18=or{d}_{19}(3)\mid y-3$$

Suy ra :

$$2^5(2^{x-5}-1)⋮3^{y-3}-1⋮3^{18}-1⋮757$$

Kéo theo :

$$2^{x-5}\equiv 1(mod757)\Rightarrow 756=or{d}_{757}(2)\mid x-5\Rightarrow 54\mid x-5$$

Từ đó ta suy ra điều mâu thuẫn :

$$3^3(3^{y-3}-1)=2^5(2^{x-5}-1)⋮2^{54}-1⋮3^4$$

Đáp số của bài toán là $(x,y)=(3,1),(5,3)$