Geometry

Bài toán : Cho hai đường tròn $(C_1),(C_2)$ tiếp xúc ngoài tại $T$. Một tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $X$ cắt $(C_1)$ tại $A,B$. $XT$ cắt $(C_1)$ lần nữa tại $S$. Trên cung $ST$ không chứa $A,B$ của $(C_1)$ ta lấy điểm $C$. Kẻ tiếp tuyến $CY$ đến $(C_2)$ với $Y$ thuộc $(C_2)$. $SC$ cắt $XY$ tại $I$. 

a) Chứng minh rằng bốn điểm $C,T,Y,I$ đồng viên.

b) Chứng minh $I$ là tâm bàng tiếp của tam giác $ABC$.

Lời giải :

a) Kẻ tiếp tuyến chung trong $xTy$ của hai đường tròn. Gọi $G$ là giao của $TY$ với $(C_1)$

Ta có :

$$\angle TYX=\angle xTX=\angle yTS=\angle TGS$$

Mà $\angle TGS=\angle TCI$ (tứ giác $GTCS$ nội tiếp) nên có $\angle TYI=\angle TCI$

Do vậy mà bốn điểm $C,T,Y,I$ đồng viên.

b) Ta có :

$\angle AXT$$=\angle xTX$$=\angle yTS$$=\angle yT{C}_1-\angle C_{1}TS$$=90^0-\angle TS{C}_1$$\Rightarrow \angle TS{C}_1+\angle AXT$$=90^0$$\Rightarrow C_{1}S\perp AB$

Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CI$ cắt $(C_1)$ tại $L$ thì do $\angle LCS=90^0$ nên $SL$ là đường kính của $(C_1)$ mà lại có $SL\perp AB(S{C}_1\perp AB)$ nên $L$ là trung điểm của cung $ALB$.

Suy ra $CL$ là phân giác trong của tam giác $ABC$ mà $CI\perp CL$ nên $CI$ là phân giác ngoài của tam giác $ABC$. $(\ast )$

Gọi $J$ là giao của $BI$ với $(C_1)$.

Vì tứ giác $AJSB$ nội tiếp nên $\angle AJS=180^0-\angle ABS$ và có $\angle IJS=180^0-\angle BJS=$. Chú ý do $S{C}_1\perp AB$ mà ta có hai cung $SA,SB$ bằng nhau, từ đó $\angle ABS=\angle BJS$, kéo theo $\angle AJS=\angle IJS(1)$

Tiếp theo ta chứng minh tam giác $BSI$ cân tại $S$.

Ta có $\angle BXS=\angle xTX=\angle STy=\angle SGT=\angle SBT$. Từ đó dễ thấy hai tam giác $BST,XSB$ đồng dạng. Suy ra $S{B}^2=ST.SX$.

Cũng có $\angle SXI=\angle TYC=\angle TIS$ nên hai tam giác $STI$ và $SIX$ đồng dạng. Suy ra $S{I}^2=ST.SX$.

Như vậy $SB=SI$ nên tam giác $SBI$ cân tại $S$. Kéo theo :

$$\angle JAS=\angle JBS=\angle JIS(2)$$

Từ $(1)(2)$ suy ra hai tam giác $JAS,JIS$ đồng dạng. Suy ra :

$$\angle JAS=\angle JSI=\angle JSC$$

Do đó hai cung $JA,JC$ của $(C_1)$ là bằng nhau. Từ đó $BJ$ hay $BI$ là phân giác trong của tam giác $ABC$. $(\ast \ast )$

Từ $(\ast )(\ast \ast )$ ta được $I$ là tâm bàng tiếp tam giác $ABC$