Bài toán : Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} x_0,x_1,x_2\in \left ( 0,1 \right )\\ 3x_{n+3}=x_n^2+x_{n+2}^2,\;\forall n=0,1,2,... \end{matrix}\right.\] Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Xét dãy số $(a_n)$ như sau : \[\left\{\begin{matrix} a_0=max\left \{ x_0,x_1,x_2 \right \}\\ a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n^2,\;\forall n=0,1,2,... \end{matrix}\right.\] Dễ thấy $a_1<a_0$. Quy nạp ta được dãy $(a_n)$ giảm mà $(a_n)$ bị chặn dưới bởi $0$ nên có giới hạn hữu hạn $L$. Chuyển qua giới hạn : \[L=\dfrac{2}{3}L^2\Rightarrow L\in \left \{ 0,3/2 \right \}\] Mà để ý thấy : \[\dfrac{3}{2}> 1=a_0> a_1> ...> a_n> ...\] Nên phải có $L=0$ hay $a_n\rightarrow 0$. Bây giờ ta sẽ chứng minh : \[max\left \{ x_{3n},x_{3n+1},x_{3n+2} \right \}\leq a_n\;\;\;\;\;(*)\] Với $n=0$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng. Gỉa sử có $(*)$. Xét $(*)$ với $n+1$ : \[x_{3n+3}=\dfrac{1}{3}(x_{3n}^2+x_{3n+2}^2)\leq \dfrac{2}{3}a_n^2=a_{n+1}\] \[x_{3n+4}=\dfrac{1}{3}(x_{3n+1}^2+x_{3n+3}^2)\leq \dfrac{1}{3}(a_n^2+a_{n+1}^2)\leq \dfrac{2}{3}a_{n}^2=a_{n+1}\] \[x_{3n+5}=\dfrac{1}{3}(x_{3n+2}^2+x_{3n+4}^2)\leq \dfrac{1}{3}(a_n^2+a_{n+1}^2)\leq \dfrac{2}{3}a_{n}^2=a_{n+1}\] Như vậy $(*)$ cũng đúng với $n+1$. Theo nguyên lí quy nạp ta có $(*)$. Từ đó : \[0< x_{3n}\leq a_n,0< x_{3n+1}\leq a_n,0< x_{3n+2}\leq a_n\] Hơn nữa do $a_n\rightarrow 0$ nên theo nguyên lí kẹp ta được : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_{3n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_{3n+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_{3n+2}=0\] Ta kết luận được : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_{n}=0\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi :

${x_{0}, x_{1}, x_{2} \in (0, 1) 3 x_{n + 3} = x_{n}^{2} + x_{n + 2}^{2}, \forall n = 0, 1, 2, ...$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Xét dãy số $(a_{n})$ như sau :

${a_{0} = ma x {x_{0}, x_{1}, x_{2}} a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n}^{2}, \forall n = 0, 1, 2, ...$

Dễ thấy $a_{1} < a_{0}$ . Quy nạp ta được dãy $(a_{n})$ giảm mà $(a_{n})$ bị chặn dưới bởi $0$ nên có giới hạn hữu hạn $L$ . Chuyển qua giới hạn :

$L = \frac{2}{3} L^{2} \Rightarrow L \in {0, 3/2}$

Mà để ý thấy :

$\frac{3}{2} > 1 = a_{0} > a_{1} > ... > a_{n} > ...$

Nên phải có $L = 0$ hay $a_{n} \to 0$ .

Bây giờ ta sẽ chứng minh :

$ma x {x_{3 n}, x_{3 n + 1}, x_{3 n + 2}} \leq a_{n} (*)$

Với $n = 0$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng. Gỉa sử có $(*)$ . Xét $(*)$ với $n + 1$ :

$x_{3 n + 3} = \frac{1}{3} (x_{3 n}^{2} + x_{3 n + 2}^{2}) \leq \frac{2}{3} a_{n}^{2} = a_{n + 1}$

$x_{3 n + 4} = \frac{1}{3} (x_{3 n + 1}^{2} + x_{3 n + 3}^{2}) \leq \frac{1}{3} (a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2}) \leq \frac{2}{3} a_{n}^{2} = a_{n + 1}$

$x_{3 n + 5} = \frac{1}{3} (x_{3 n + 2}^{2} + x_{3 n + 4}^{2}) \leq \frac{1}{3} (a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2}) \leq \frac{2}{3} a_{n}^{2} = a_{n + 1}$

Như vậy $(*)$ cũng đúng với $n + 1$ . Theo nguyên lí quy nạp ta có $(*)$ . Từ đó :

$0 < x_{3 n} \leq a_{n}, 0 < x_{3 n + 1} \leq a_{n}, 0 < x_{3 n + 2} \leq a_{n}$

Hơn nữa do $a_{n} \to 0$ nên theo nguyên lí kẹp ta được :

$n \to + \infty lim x_{3 n} = n \to + \infty lim x_{3 n + 1} = n \to + \infty lim x_{3 n + 2} = 0$

Ta kết luận được :

$n \to + \infty lim x_{n} = 0$