Number Theory

Bài toán : Cho số nguyên tố $p\equiv 2(mod3)$ và dãy $a_k=k^2+k+1$ với $k=1,2,...,p-1$. Chứng minh rằng :

$$a_1{a}_2...a_{p-1}\equiv 3(modp)$$

Lời giải :

Bổ đề 1 : Cho số nguyên tố $p\equiv 2(mod3)$. Khi đó ta có $a\equiv b(modp)\iff a^3\equiv b^3(modp)$

Chứng minh bổ đề 1 :

Nếu $a\equiv b(modp)$ thì hiển nhiên là $a^3\equiv b^3(modp)$. Gỉa sử $a^3\equiv b^3(modp)\Rightarrow p\mid (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Nếu $p\mid a-b$ thì ta hoàn tất bổ đề.

Nếu $p\mid a^2+ab+b^2\Rightarrow p\mid 4(a^2+ab+b^2)\Rightarrow (a+2b{)}^2+3a^2\equiv 0(modp)\Rightarrow \left(\frac{-3}{p}\right)=1$.

Suy ra $p\equiv 1(mod3)$. Mâu thuẫn.

Bổ đề 2 : Cho số nguyên tố $p\equiv 2(mod3)$. Khi đó ta có $\left\{2^3-1,3^3-1,...,p^3-1\right\}$ là hệ thặng dư thu gọn modulo $p$.

Chứng minh bổ đề 2 :

Nếu tồn tại $i,j$ với $i,j\in \left\{2,3,..,p\right\}$ sao cho :

$$i^3-1\equiv j^3-1(modp)\Rightarrow i^3\equiv j^3(modp)$$

Theo bổ đề 1 ta có $i\equiv j(modp)$ và điều này vô lí. Bổ đề 2 chứng minh hoàn tất.

Trở lại với bài toán :

Theo bổ đề 2 ta có :

$(2^3-1)(3^3-1)...(p^3-1)$$\equiv \mathrm{1.2.3...}(p-1)(modp)$$\iff (2^2+2+1)(3^2+3+1)...(p^2+p+1)$$\equiv 1(modp)$$\iff a_2{a}_3...a_p$$\equiv 1(modp)$

Lại chú ý rằng $a_1=1^2+1+1\equiv 3(modp),a_p=p^2+p+1\equiv 1(modp)$ nên :

$$a_1{a}_2...a_{p-1}\equiv 3(modp)$$