Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1998) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} u_0=20,u_1=100\\ u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}+20,\;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.\] Tìm số nguyên dương $h$ bé nhất thỏa mãn : \[1998\mid u_{n+h}-u_n\] với mọi số nguyên dương $n$. Lời giải : Đặt $a_n=2u_n+5$ ta được : \[\left\{\begin{matrix} a_0=45,a_1=205\\ a_{n+1}=4a_n+5a_{n-1} \end{matrix}\right.\] Giải phương trình sai phân này ta được : \[a_n=\dfrac{125.5^n+10.(-1)^n}{3}\] Và suy ra : \[u_n=\dfrac{125}{6}.5^n+\dfrac{5}{3}.(-1)^n-\dfrac{5}{2}\] Vì $1998\mid u_{n+h}-u_n$ nên : \[2.1998\mid 2(u_{n+h}-u_n)=a_{n+h}-a_n\Rightarrow 3.2.1998\mid 125.5^{n+h}+10.(-1)^{n+h}-1225.5^n-10.(-1)^n\Rightarrow 2^2.3^4.37\mid 125.5^n(5^h-1)+10.(-1)^n\left [ (-1)^h-1 \right ]\] Nếu $h$ chẵn thì : \[2^2.3^4.37\mid 125.5^n(5^h-1)\Rightarrow 5^{h}\equiv 1\;(mod\;k)\;\;\;\left ( k=2^2,3^4,37 \right )\Rightarrow ord_k(5)\mid h\] Ta tính được $ord_{2^2}(5)=1,ord_{3^4}(5)=54,ord_{37}(5)=36$ và $lcm(1,54,36)=108$ nên : \[108\mid h\Rightarrow h\geq 108\] Nếu $h$ lẻ thì do $u_{n+h}\equiv u_n\;(mod\;1998),\;\forall n$ nên : \[u_h\equiv u_0\;(mod\;1998),u_{h+1}\equiv u_1\;(mod\;1998)\] Cũng dễ thấy rằng vì $h$ lẻ mà : \[u_{h}=\dfrac{125}{6}.5^h-\dfrac{25}{6},u_{h-1}=\dfrac{125}{6}.5^{h-1}-\dfrac{5}{6}\Rightarrow u_h=5u_{h-1}\] Ta lại có : \[u_{h+1}=4u_h+5u_{h-1}+20=5u_h+20\] Mà $u_h\equiv u_0=20\;(mod\;1998)$ nên $u_{h+1}=5u_h+20\equiv 5.20+20=120\;(mod\;1998)$ Mâu thuẫn với $u_h\equiv u_1=100\;(mod\;1998)$ Vậy trường hợp $h$ lẻ là không thể xảy ra. Từ đó giá trị nhỏ nhất của $h$ cần tìm là $h=108$.

Arithmetic Sequence

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1998)

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi :

${u_{0} = 20, u_{1} = 100 u_{n + 1} = 4 u_{n} + 5 u_{n - 1} + 20, \forall n \geq 1$

Tìm số nguyên dương $h$ bé nhất thỏa mãn :

$1998 ∣ u_{n + h} - u_{n}$

với mọi số nguyên dương $n$ .

Lời giải :

Đặt $a_{n} = 2 u_{n} + 5$ ta được :

${a_{0} = 45, a_{1} = 205 a_{n + 1} = 4 a_{n} + 5 a_{n - 1}$

Giải phương trình sai phân này ta được :

$a_{n} = \frac{125. 5 ^{n} + 10. ( - 1 ) ^{n}}{3}$

Và suy ra :

$u_{n} = \frac{125}{6} . 5^{n} + \frac{5}{3} . (- 1)^{n} - \frac{5}{2}$

Vì $1998 ∣ u_{n + h} - u_{n}$ nên :

$2.1998 ∣ 2 (u_{n + h} - u_{n}) = a_{n + h} - a_{n} \Rightarrow 3.2.1998 ∣ 125. 5^{n + h} + 10. (- 1)^{n + h} - 1225. 5^{n} - 10. (- 1)^{n} \Rightarrow 2^{2} . 3^{4} .37 ∣ 125. 5^{n} (5^{h} - 1) + 10. (- 1)^{n} [(- 1)^{h} - 1]$

Nếu $h$ chẵn thì :

$2^{2} . 3^{4} .37 ∣ 125. 5^{n} (5^{h} - 1) \Rightarrow 5^{h} \equiv 1 (m o d k) (k = 2^{2}, 3^{4}, 37) \Rightarrow or d_{k} (5) ∣ h$

Ta tính được $or d_{2^{2}} (5) = 1, or d_{3^{4}} (5) = 54, or d_{37} (5) = 36$ và $l c m (1, 54, 36) = 108$ nên :

$108 ∣ h \Rightarrow h \geq 108$

Nếu $h$ lẻ thì do $u_{n + h} \equiv u_{n} (m o d 1998), \forall n$ nên :

$u_{h} \equiv u_{0} (m o d 1998), u_{h + 1} \equiv u_{1} (m o d 1998)$

Cũng dễ thấy rằng vì $h$ lẻ mà :

$u_{h} = \frac{125}{6} . 5^{h} - \frac{25}{6}, u_{h - 1} = \frac{125}{6} . 5^{h - 1} - \frac{5}{6} \Rightarrow u_{h} = 5 u_{h - 1}$

Ta lại có :

$u_{h + 1} = 4 u_{h} + 5 u_{h - 1} + 20 = 5 u_{h} + 20$

Mà $u_{h} \equiv u_{0} = 20 (m o d 1998)$ nên $u_{h + 1} = 5 u_{h} + 20 \equiv 5.20 + 20 = 120 (m o d 1998)$

Mâu thuẫn với $u_{h} \equiv u_{1} = 100 (m o d 1998)$

Vậy trường hợp $h$ lẻ là không thể xảy ra. Từ đó giá trị nhỏ nhất của $h$ cần tìm là $h = 108$ .

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả